【模板】A*B Problem(FFT快速傅里叶)
题目:给出两个n位10进制整数x和y,你需要计算x*y。($n \leq 60000$)
分析:
两个正整数的相乘可以视为两个多项式的相乘,
例如 $15 \times 16 = 240$,
可写成 $(5+x)*(6+x) = 30 + 11x + x^2$,$x=10$
这样得到多项式 $A(x)$ 和 $B(x)$,并且能用FFT求出 $C(x)=A(x)B(x)$,
怎么得到最终结果,我们要将 $x=10$ 代入吗?
$n$ 这么大,遍历一遍也没有这么大的数据类型能存下,其次,这也不是必要的。
$x=10$ 是 $C(x)$ 已经相当于十进制,我们模拟一下进位就可以了。
// luogu-judger-enable-o2
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int MAXN = * + ;
inline int read() {
char c = getchar(); int x = , f = ;
while (c < '' || c > '') {if (c == '-')f = -; c = getchar();}
while (c >= '' && c <= '') {x = x * + c - ''; c = getchar();}
return x * f;
}
const double Pi = acos(-1.0);
const double Eps = 1e-;
double ccos[MAXN], ssin[MAXN];
struct complex {
double x, y;
complex (double xx = , double yy = ) {x = xx, y = yy;}
} a[MAXN], b[MAXN];
complex operator + (complex a, complex b) { return complex(a.x + b.x , a.y + b.y);}
complex operator - (complex a, complex b) { return complex(a.x - b.x , a.y - b.y);}
complex operator * (complex a, complex b) { return complex(a.x * b.x - a.y * b.y , a.x * b.y + a.y * b.x);} //不懂的看复数的运算那部分
void fast_fast_tle(int limit, complex *a, int type) {
if (limit == ) return ; //只有一个常数项
complex a1[limit >> ], a2[limit >> ];
for (int i = ; i < limit; i += ) //根据下标的奇偶性分类
a1[i >> ] = a[i], a2[i >> ] = a[i + ];
fast_fast_tle(limit >> , a1, type);
fast_fast_tle(limit >> , a2, type);
complex Wn = complex(ccos[limit] , type * ssin[limit]), w = complex(, );
//complex Wn = complex(cos(2.0 * Pi / limit) , type * sin(2.0 * Pi / limit)), w = complex(1, 0);
//Wn为单位根,w表示幂
for (int i = ; i < (limit >> ); i++, w = w * Wn) //这里的w相当于公式中的k
{
complex tmp = w * a2[i];
a[i] = a1[i] + tmp;
a[i + (limit >> )] = a1[i] - tmp; //利用单位根的性质,O(1)得到另一部分
}
} char s[MAXN];
int res[MAXN]; int main() {
int N = read();
scanf("%s", s);
for (int i = ; i < N; i++) a[i].x = s[N--i]-'';
scanf("%s", s);
for (int i = ; i < N; i++) b[i].x = s[N--i]-''; //for(int i = 0;i < N;i++) printf("%f ", a[i]); int limit = ; while (limit <= *N) limit <<= ; for(int i = ;i <= limit;i++)
{
ccos[i] = cos(2.0 * Pi / i);
ssin[i] = sin(2.0 * Pi / i);
} fast_fast_tle(limit, a, );
fast_fast_tle(limit, b, );
//后面的1表示要进行的变换是什么类型
//1表示从系数变为点值
//-1表示从点值变为系数
//至于为什么这样是对的,可以参考一下c向量的推导过程,
for (int i = ; i <= limit; i++)
a[i] = a[i] * b[i];
fast_fast_tle(limit, a, -); for(int i = ;i <= *N;i++) res[i] = int(a[i].x/limit+0.5); int tmp = ; //进位
for(int i = ;i <= *N;i++)
{
res[i] += tmp;
tmp = res[i] / ;
res[i] = res[i] % ;
} bool flag = false;
for (int i = *N; i >= ; i--)
{
if(res[i]) flag = true; //注意处理前导0,题干有说
if(flag) printf("%d", res[i]); //按照我们推倒的公式,这里还要除以n
}
return ;
}
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