【BZOJ2818】Gcd（莫比乌斯反演，欧拉函数）

题意：给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的
数对(x,y)有多少对

1<=N<=10^7

思路：莫比乌斯反演，同BZOJ2820……

 const max=;
 var sum:array[..max]of int64;
     prime,flag,f,mu:array[..max]of longint;
     n,m,i,j,t,v,cas:longint;

 function clac(n:longint):int64;
 var x,i,pos:longint;
 begin
  clac:=; i:=;
  while i<=n do
  begin
   x:=n div i;
   pos:=n div x;
   clac:=clac+(sum[pos]-sum[i-])*x*x;
   i:=pos+;
  end;
 end;

 begin

  mu[]:=;
  for i:= to max do
  begin
   if flag[i]= then
   begin
    inc(m); prime[m]:=i;
    mu[i]:=-;
   end;
   j:=;
   while (j<=m)and(prime[j]*i<=max) do
   begin
    t:=prime[j]*i; flag[t]:=;
    if i mod prime[j]= then
    begin
     mu[t]:=; break;
    end;
    mu[t]:=-mu[i];
    inc(j);
   end;
  end;
  for i:= to m do
   for j:= to max div prime[i] do
   begin
    t:=prime[i]*j;
    f[t]:=f[t]+mu[j];
   end;
  for i:= to max do sum[i]:=sum[i-]+f[i];
  read(n);
  writeln(clac(n));

 end.

惊奇地发现，自己两年前用欧拉函数的方法过掉了此题……

From hzwer

枚举每个素数，然后每个素数p对于答案的贡献就是（1 ~ n / p） 中有序互质对的个数
而求1~m中有序互质对x，y的个数，可以令y >= x, 当y = x时，有且只有y = x = 1互质，当y > x时，确定y以后符合条件的个数x就是phiy
所以有序互质对的个数为（1 ~ n/p）的欧拉函数之和乘2减1（要求的是有序互质对，乘2以后减去（1， 1）多算的一次）
那么就只需要先筛出欧拉函数再求个前缀和就可以了

 var b,prime,phi:array[..]of longint;
     s:array[..]of int64;
     ans:int64;
     i,j,m,n:longint;

 begin

  readln(n);
  b[]:=; phi[]:=;
  for i:= to n do
  begin
   if b[i]= then
   begin
    inc(m); prime[m]:=i; phi[i]:=i-;
   end;
   for j:= to m do
   begin
    if i*prime[j]>n then break;
    b[i*prime[j]]:=;
    if i mod prime[j]= then
    begin
     phi[i*prime[j]]:=phi[i]*prime[j];
     break;
    end
     else phi[i*prime[j]]:=phi[i]*(prime[j]-);

   end;
  end;

  for i:= to n do s[i]:=s[i-]+phi[i];
  for i:= to m do ans:=ans+s[n div prime[i]]*-;
  writeln(ans);

 end.