Chat Group gym101775A(逆元，组合数)

传送门：Chat Group（gym101775A）

题意：一个宿舍中又n个人，最少k（k >= 3）个人就可以建一个讨论组，问最多可以建多少个不同的讨论组。

思路：求组合数的和，因为涉及除法取余，所以要求逆元来解题。

虽然之前看到过有关逆元的知识，但是一直没有弄明白逆元的应用。嗯~~挖下的坑终于把自己给坑了。这次认栽！！

最终的结果是：C(n,k)+C(n,k+1)+.......+C(n,n) = 2^n - ( C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ......+C(n,k-1)

(a / b)%mod = a % mod *(b关于模mod的逆元);

复习逆元相关知识：Click hear

代码：

费马小定理求逆元法：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MOD = 1e9+;
const int maxn = 1e5;
typedef long long ll;
int n,k;
ll qpow(ll a,ll b)
{
    ll res = ;
    while(b)
    {
        if(b&)
            res = res*a%MOD;
        a = a*a%MOD;
        b>>=;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int T,cnt = ;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&k);
        ll c = ;
        ll sum = ;
        for(int i = ; i<=k-; i++)
        {
            c = ((c*(n-i+)%MOD)*qpow(i,MOD-))%MOD;
            sum = (sum + c)%MOD;
        }
        ll M = qpow(,n) - ;
        printf("Case #%d: %lld\n",++cnt,(M - sum + MOD)%MOD);//将结果转为正数
    }
    return ;
}

线性求逆元：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MOD = 1e9+;
const int maxn = 1e5;
typedef long long ll;
int n,k;
ll qpow(ll a,ll b)
{
    ll res = ;
    while(b)
    {
        if(b&)
            res = res*a%MOD;
        a = a*a%MOD;
        b>>=;
    }
    return res;
}
ll inv[maxn];

void getInv()
{
    inv[] = ;
    for(int i = ; i<maxn; i++)
    {
        inv[i] = (MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;
    }
}

int main()
{
    int T,cnt = ;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        getInv();
        scanf("%d%d",&n,&k);
        ll c = ;
        ll sum = ;
        for(int i = ; i<=k-; i++)
        {
            c = (c*(n-i+)%MOD*inv[i])%MOD;
            sum = (sum + c)%MOD;
        }
        ll M = qpow(,n) - ;
        printf("Case #%d: %lld\n",++cnt,(M - sum + MOD)%MOD);
    }
    return ;
}