【洛谷3239_BZOJ4008】[HNOI2015] 亚瑟王（期望 DP）

题目：

洛谷 3239

分析：

卡牌造成的伤害是互相独立的，所以 \(ans=\sum f_i\cdot d_i\) ，其中 \(f_i\) 表示第 \(i\) 张牌 在整局游戏中 发动技能的概率。那么现在的问题是求 \(f_i\) 。

考虑对于一张特定的牌 \(i\) ，它发动技能的概率显然和比它大的牌是否发动技能无关。并且，这个概率只和有 多少个 比它小的牌发动了技能有关，而与具体是哪几张和发动顺序都无关。为什么呢？考虑正难则反，它发动技能的概率是 1 减去在 \(r\) 轮游戏中都没有发动技能的概率。但并不是 \(1-(1-p_i)^r\) ，因为如果有 \(j\) 张比 \(i\) 小的牌发动了技能，那么这 \(j\) 轮中牌 \(i\) 不会发动技能的概率是 \(1\) 而不是 \(1-p_i\) ，因为这一轮已经在前面某张牌发动技能时结束了。所以答案应为 \(1-(1-p_i)^{r-j}\) 。

用 \(dp_{i,j}\) 表示前 \(i\) 张牌中发动了 \(j\) 张的概率，那么有转移（分别对应第 \(i\) 张是否发动技能）：

\[dp_{i,j}=dp_{i-1,j}\cdot (1-p_i)^{r-j}+dp_{i-1,j-1}\cdot \left(1-(1-p_i)^{r-(j-1)}\right)
\]

那么就有

\[f_i=\sum_{j=0}^{i-1} dp_{i-1,j}\cdot \left(1-(1-p_i)^{r-j}\right)
\]

代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <cmath>
using namespace std;

namespace zyt
{
	template<typename T>
	inline bool read(T &x)
	{
		char c;
		bool f = false;
		x = 0;
		do
			c = getchar();
		while (c != EOF && c != '-' && !isdigit(c));
		if (c == EOF)
			return false;
		if (c == '-')
			f = true, c = getchar();
		do
			x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
		while (isdigit(c));
		if (f)
			x = -x;
		return true;
	}
	inline bool read(double &x)
	{
		return ~scanf("%lf", &x);
	}
	template<typename T>
	inline void write(T x)
	{
		static char buf[20];
		char *pos = buf;
		if (x < 0)
			putchar('-'), x = -x;
		do
			*pos++ = x % 10 + '0';
		while (x /= 10);
		while (pos > buf)
			putchar(*--pos);
	}
	inline void write(const double &x, const int fixed = 9)
	{
		printf("%.*f", fixed, x);
	}
	const int N = 230, R = 150;
	double p[N], dp[N][R];
	int n, r, d[N];
	int work()
	{
		int T;
		read(T);
		while (T--)
		{
			read(n), read(r);
			for (int i = 1; i <= n; i++)
				read(p[i]), read(d[i]), memset(dp[i], 0, sizeof(int[min(r, i) + 1]));
			dp[0][0] = 1;
			for (int i = 1; i <= n; i++)
				for (int j = 0; j <= min(r, i); j++)
					dp[i][j] = (j ? dp[i - 1][j - 1] * (1 - pow(1 - p[i], r - j + 1)) : 0)
						+ dp[i - 1][j] * pow(1 - p[i], r - j);
			double ans = 0;
			for (int i = 1; i <= n; i++)
			{
				double pp = 0;
				for (int j = 0; j < min(r, i); j++)
					pp += dp[i - 1][j] * (1 - pow(1 - p[i], r - j));
				ans += pp * d[i];
			}
			write(ans, 10), putchar('\n');
		}
		return 0;
	}
}
int main()
{
	return zyt::work();
}