线性规划||网络流(费用流)：COGS 288. [NOI2008] 志愿者招募

[NOI2008] 志愿者招募

输入文件：employee.in   输出文件：employee.out   简单对比
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内存限制：512 MB

【问题描述】

申奥成功后，布布经过不懈努力，终于成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难题：为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过估算，这个项目需要N 天才能完成，其中第i 天至少需要Ai 个人。
布布通过了解得知，一共有M 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天，招募费用是每人Ci
元。新官上任三把火，为了出色地完成自己的工作，布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者，但这并不是他的特长！于是布布找到了你，希望你帮他设计一种最
优的招募方案。

【输入格式】

输入文件的第一行包含两个整数N, M，表示完成项目的天数和可以招募的志愿者的种类。
接下来的一行中包含N 个非负整数，表示每天至少需要的志愿者人数。
接下来的M 行中每行包含三个整数Si, Ti, Ci，含义如上文所述。为了方便起见，我们可以认为每类志愿者的数量都是无限多的。

【输出格式】
输入文件中仅包含一个整数，表示你所设计的最优方案的总费用。

【输入样例】
3 3
2 3 4
1 2 2
2 3 5
3 3 2
【输出样例】
14

【样例说明】
招募3 名第一类志愿者和4 名第三类志愿者。
【数据规模和约定】
30%的数据中，1 ≤ N, M ≤ 10，1 ≤ Ai ≤ 10；
100%的数据中，1 ≤ N ≤ 1000，1 ≤ M ≤ 10000，题目中其他所涉及的数据均
不超过2^31-1。

　　https://www.byvoid.com/zhs/blog/noi-2008-employee

 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #include <cstdio>
 #include <queue>
 using namespace std;
 const int INF=;
 const int maxn=;
 const int maxm=;
 int cnt=,fir[maxn],to[maxm],nxt[maxm],cap[maxm],val[maxm];
 void addedge(int a,int b,int c,int v){
     nxt[++cnt]=fir[a];to[cnt]=b;cap[cnt]=c;val[cnt]=v;fir[a]=cnt;
 }
 int N,M,S,T;
 int dis[maxn],path[maxn],tot[maxn],vis[maxn];

 queue<int>q;
 int MCMF(){
     int ret=;
     while(true){
         memset(dis,,sizeof(dis));dis[S]=;
         q.push(S);vis[S]=;
         while(!q.empty()){
             int node=q.front();q.pop();vis[node]=;
             for(int i=fir[node];i;i=nxt[i])
                 if(cap[i]&&dis[to[i]]>dis[node]+val[i]){
                     dis[to[i]]=dis[node]+val[i];
                     path[to[i]]=i;
                     if(!vis[to[i]]){
                         vis[to[i]]=;
                         q.push(to[i]);
                     }
                 }
         }
         if(dis[T]==)
             break;

         int p=T,f=INF;
         while(p!=S){
             f=min(f,cap[path[p]]);
             p=to[path[p]^];
         }
         ret+=dis[T]*f;p=T;
         while(p!=S){
             cap[path[p]]-=f;
             cap[path[p]^]+=f;
             p=to[path[p]^];
         }
     }
     return ret;
 }

 int main(){
     freopen("employee.in","r",stdin);
     freopen("employee.out","w",stdout);
     scanf("%d%d",&N,&M);
     S=;T=N+;
     for(int i=;i<=N;i++)
         scanf("%d",&tot[i]);
     for(int i=,a,b,c;i<=M;i++){
         scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
         addedge(a,b+,INF,c);
         addedge(b+,a,,-c);
     }
     for(int i=;i<=N+;i++){
         int c=tot[i]-tot[i-];
         if(c>){
             addedge(S,i,c,);
             addedge(i,S,,);
         }
         if(c<){
             addedge(i,T,-c,);
             addedge(T,i,,);
         }
         if(i>){
             addedge(i,i-,INF,);
             addedge(i-,i,,);
         }
     }
     printf("%d\n",MCMF());
     return ;
 }

　　然后又用线性规划。

　　额，松弛型先天不足，数组开不了，无法通过，再学一下吧。

 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #include <cstdio>
 #include <cmath>
 using namespace std;
 const int maxr=;
 const int maxc=;

 const double eps=1e-;
 int n,m,nxt[maxc];
 int N[maxr],B[maxr];
 double a[maxr][maxr],v;
 double b[maxr],c[maxr];

 int SGN(double x){
     return (x>eps)-(x<-eps);
 }

 void Init(){
     B[]=N[]=;v=0.0;
     for(int i=;i<=n;i++)N[++N[]]=i;
     for(int i=;i<=m;i++)B[++B[]]=i+n;
 }

 void Pivot(int l,int e){
     b[e]=b[l]/a[l][e];
     a[e][l]=1.0/a[l][e];
     for(int i=;i<=N[];i++)
         if(N[i]!=e)a[e][N[i]]=a[l][N[i]]/a[l][e];

     int pre=;
     for(int i=;i<=N[];i++)
         if(N[i]!=e&&SGN(a[e][N[i]])!=)
             {nxt[pre]=i;pre=i;}
     nxt[pre]=;

     for(int i=;i<=B[];i++)
         if(B[i]!=l){
             b[B[i]]-=a[B[i]][e]*b[e];
             a[B[i]][l]=-a[B[i]][e]*a[e][l];
             for(int j=nxt[];j;j=nxt[j])
                 if(N[j]!=e)a[B[i]][N[j]]-=a[B[i]][e]*a[e][N[j]];
         }

     v+=c[e]*b[e];
     c[l]=-c[e]*a[e][l];
     for(int i=;i<=N[];i++)
         if(N[i]!=e)
             c[N[i]]-=c[e]*a[e][N[i]];
     for(int i=;i<=N[];i++)if(N[i]==e)N[i]=l;
     for(int i=;i<=B[];i++)if(B[i]==l)B[i]=e;
 }

 void Simplex(){
     while(true){
         int e=maxr,l=maxr;
         for(int i=;i<=N[];i++)
             if(SGN(c[N[i]])>&&e>N[i])e=N[i];

         if(e==maxr)break;        

         double lam=-;
         for(int i=;i<=B[];i++)
             if(SGN(a[B[i]][e])>){
                 double tmp=b[B[i]]/a[B[i]][e];
                 if(lam==-||SGN(lam-tmp)>||SGN(lam-tmp)==&&l>B[i])
                     {lam=tmp;l=B[i];}
             }

         Pivot(l,e);
     }
 }

 int main(){
 #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("employee.in","r",stdin);
     freopen("employee.out","w",stdout);
 #endif
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=,t;i<=n;i++){
         scanf("%d",&t);
         c[i]=t;
     }

     for(int i=,l,r,t;i<=m;i++){
         scanf("%d%d%d",&l,&r,&t);
         for(int j=l;j<=r;j++)
             a[i+n][j]=;
         b[i+n]=t;
     }

     Init();
     Simplex();

     printf("%d\n",(int)(v+0.5));
     return ;
 }

　　这个程序可以AC，但解法并不具有共性啊……

 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #include <cstdio>
 using namespace std;
 const int maxr=;
 const int maxc=;

 int n,m,nxt[maxc];
 int a[maxr][maxc];

 void Pivot(int l,int e){
     int pre=maxc-;
     for(int i=;i<=n;i++)
         if(a[l][i]!=){nxt[pre]=i;pre=i;}
     nxt[pre]=-;

     for(int i=,t;i<=m;i++)
         if(i!=l&&(t=a[i][e])){
             a[i][e]=;
             for(int j=nxt[maxc-];j!=-;j=nxt[j])
                 a[i][j]+=t*a[l][j];
         }
 }

 void Simplex(){
     while(true){
         int e=,l=;
         for(int i=;i<=n;i++)
             if(a[][i]>){e=i;break;}
         if(e==)break;
         for(int i=;i<=m;i++)
             if(a[i][e]<&&(!l||a[l][]>a[i][]))
                 {l=i;}

         Pivot(l,e);
     }
 }

 int main(){
 #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("employee.in","r",stdin);
     freopen("employee.out","w",stdout);
 #endif
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=;i<=n;i++)
         scanf("%d",&a[][i]);
     for(int i=,l,r,t;i<=m;i++){
         scanf("%d%d%d",&l,&r,&t);
         for(int j=l;j<=r;j++)
             a[i][j]=-;
         a[i][]=t;
     }
     Simplex();
     printf("%d\n",a[][]);
     return ;
 }

　　这里的线性规划式子都是原式的对偶线性规划式。