拉普拉斯特征图降维及其python实现

这种方法假设样本点在光滑的流形上，这一方法的计算数据的低维表达，局部近邻信息被最优的保存。以这种方式，可以得到一个能反映流形的几何结构的解。

步骤一：构建一个图G=(V,E),其中V={vi，i=1,2,3…n}是顶点的集合，E={eij}是连接顶点的vi和vj边，图的每一个节点vi与样本集X中的一个点xi相关。如果xi，xj相距较近，我们就连接vi，vj。也就是说在各自节点插入一个边eij，如果Xj在xi的k领域中，k是定义参数。

步骤二：每个边都与一个权值Wij相对应，没有连接点之间的权值为0，连接点之间的权值：

步骤三：令，实现广义本征分解：

使是最小的m+1个本征值。忽略与=0相关的本征向量，选取另外m个本征向量即为降维后的向量。

2.1、python实现拉普拉斯降维

def laplaEigen(dataMat,k,t):

m,n=shape(dataMat)

W=mat(zeros([m,m]))

D=mat(zeros([m,m]))

for i in range(m):

k_index=knn(dataMat[i,:],dataMat,k)

for j in range(k):

sqDiffVector = dataMat[i,:]-dataMat[k_index[j],:]

sqDiffVector=array(sqDiffVector)**2

sqDistances = sqDiffVector.sum()

W[i,k_index[j]]=math.exp(-sqDistances/t)

D[i,i]+=W[i,k_index[j]]

L=D-W

Dinv=np.linalg.inv(D)

X=np.dot(D.I,L)

lamda,f=np.linalg.eig(X)

return lamda,f

def knn(inX, dataSet, k):

dataSetSize = dataSet.shape[0]

diffMat = tile(inX, (dataSetSize,1)) - dataSet

sqDiffMat = array(diffMat)**2

sqDistances = sqDiffMat.sum(axis=1)

distances = sqDistances**0.5

sortedDistIndicies = distances.argsort()

return sortedDistIndicies[0:k]

dataMat, color = make_swiss_roll(n_samples=2000)

lamda,f=laplaEigen(dataMat,11,5.0)

fm,fn =shape(f)

print 'fm,fn:',fm,fn

lamdaIndicies = argsort(lamda)

first=0

second=0

print lamdaIndicies[0], lamdaIndicies[1]

for i in range(fm):

if lamda[lamdaIndicies[i]].real>1e-5:

print lamda[lamdaIndicies[i]]

first=lamdaIndicies[i]

second=lamdaIndicies[i+1]

break

print first, second

redEigVects = f[:,lamdaIndicies]

fig=plt.figure('origin')

ax1 = fig.add_subplot(111, projection='3d')

ax1.scatter(dataMat[:, 0], dataMat[:, 1], dataMat[:, 2], c=color,cmap=plt.cm.Spectral)

fig=plt.figure('lowdata')

ax2 = fig.add_subplot(111)

ax2.scatter(f[:,first], f[:,second], c=color, cmap=plt.cm.Spectral)

plt.show()

2.2、拉普拉斯降维实验

用如下参数生成实验数据存在swissdata.dat里面：

def make_swiss_roll(n_samples=100, noise=0.0, random_state=None):

#Generate a swiss roll dataset.

t = 1.5 * np.pi * (1 + 2 * random.rand(1, n_samples))

x = t * np.cos(t)

y = 83 * random.rand(1, n_samples)

z = t * np.sin(t)

X = np.concatenate((x, y, z))

X += noise * random.randn(3, n_samples)

X = X.T

t = np.squeeze(t)

return X, t

实验结果如下：

N=5，t=15：             N=7，t=15：            N=9，t=15：

N=11，t=15：             N=13，t=15：            N=15，t=15：

N=17，t=15：             N=19，t=15：            N=21，t=15：

N=23，t=15：             N=25，t=15：            N=27，t=15：

N=29，t=15：             N=31，t=15：            N=33，t=15：

N=25，t=5：              N=25，t=8：           N=25，t=10：

N=25，t=12：            N=25，t=14：               N=25，t=50：

N=25，t=Inf：