【清橙A1084】【FFT】快速傅里叶变换

问题描述

　　离散傅立叶变换在信号处理中扮演者重要的角色。利用傅立叶变换，可以实现信号在时域和频域之间的转换。
　　对于一个给定的长度为n=2^m (m为整数) 的复数序列X₀, X₁, …, X_n-1，离散傅立叶变换将得到另一个长度为n的复数序列Y₀, Y₁, …, Y_n-1。其中
　　Y_i=X₀+X₁wⁱ+ X₂w²ⁱ+ X₃w³ⁱ+…+ X_n-1w^(n-1)i
　　其中w=e^2πI/n=cos(2π/n)+I sin(2π/n)，称为旋转因子，其中I为虚数单位，I²= –1。
　　给定输入序列X，请输出傅立叶变换后的输出序列。

　　由于所有的复数C都可以表示成C=a+Ib的形式，即由实部和虚部的和表示，所以C可以用一个二元组(a, b)来表示，用这种方法w可表示为(cos(2π/n), sin(2π/n))。复数的计算规则如下：
　　(a₁, b₁)+(a₂, b₂)=(a₁+a₂, b₁+b₂)
　　(a₁, b₁)(a₂, b₂)=(a₁, b₁)*(a₂, b₂)=(a₁*a₂-b₁*b₂, a₁*b₂+a₂*b₁)

　　对于本题，你可以按照上面的公式直接计算，也可以按下面的方法计算。使用上面的公式的复杂度为O(n²)，可以得到一半的分数，而下面的方法的复杂度为O(n log n)，可以得到全部的分数。如果要使用上面的公式直接计算，请跳过下面的算法描述部分。

算法描述

　　注意到上式中w=e^2πI/n=cos(2π/n)+I sin(2π/n)，所以w^n+k=w^k，这个公式将在下面的计算用用到。
　　对上面的公式进行变形，得到：
　　Y_i
　　=X₀ + X₁wⁱ + X₂w²ⁱ + X₃w³ⁱ +…+ X_n-1w^(n-1)i
　　=X₀ + X₂w²ⁱ + X₄w⁴ⁱ +…+ X_n-2w^(n-2)i + wⁱ(X₁ + X₃w²ⁱ + X₅w⁴ⁱ +…+ X_n-1w^(n-2)i)
　　=(X₀ + X₂φⁱ + X₄φ²ⁱ +…+ X_n-2φ^(n/2-1)i) + wⁱ(X₁ + X₃φⁱ + X₅φ²ⁱ +…+ X_n-1φ^(n/2-1)i)
　　其中φ=w²。利用这个公式可得
　　Y_i+n/2=(X₀ + X₂φ^i+n/2 + X₄φ^2(i+n/2) +…+ X_n-2φ^{(n/2-1) (i+n/2)}) + wⁱ(X₁ + X₃φ^(i+n/2) + X₅φ^2(i+n/2) +…+ X_n-1φ^{(n/2-1) (i+n/2)})
　　其中φ^i+n/2=w²ⁱ⁺ⁿ=w²ⁱ=φⁱ。
　　所以当i<n/2时，令p_i=X₀ + X₂φⁱ + X₄φ²ⁱ +…+ X_n-2φ^(n/2-1)i，q_i= X₁ + X₃φⁱ + X₅φ²ⁱ +…+ X_n-1φ^(n/2-1)i，则Y_i=p_i+wⁱq_i，Y_i+n/2= p_i+w^i+n/2q_i。
　　利用上面的公式，我们可以得到一种快速计算旋转因子为w的傅立叶变换的方法如下（快速傅立叶变换）：
　　算法Y=Fourier(X, n, w)
　　参数：X={X_i}为待变换的序列，n为序列的长度（2的整数次幂），w为旋转因子
　　结果：X的傅立叶变换Y={Y_i}
　　1. 计算{X₀, X₂, X₄, …, X_n-2}在旋转因子为φ=w²时的傅立叶变换序列{p_i}
　　2. 计算{ X₁, X₃, X₅, …, X_n-1}在旋转因子为φ=w²时的傅立叶变换序列{q_i}
　　3. 对于0<=i<n，计算Y_i=p_i+wⁱq_i。其中w⁰=(1, 0)，wⁱ=w^i-1*w，你要设置一个临时变量进行累乘而不能每次重新计算wⁱ。
　　使用这种方法，即可在O(n log n)的时间内计算傅立叶变换。

输入格式

　　输入的第一行包含一个整数n，表示待变换的序列的长度，n是2的整数次幂。n<=16384。
　　接下来n行，每行2个实数a, b表示序列中的一个元素为(a, b)。

输出格式

　　输出n行，每行两个实数，表示经过变换后的序列。为了防止运算时的误差影响结果的输出，请将结果中的每一个实数除以n后保留两位小数。

样例输入

4
1.0 0.0
1.0 0.0
0.0 0.0
0.0 0.0

样例输出

0.50 0.00
0.25 0.25
0.00 0.00
0.25 -0.25

【分析】

也是裸题。

 /*
 宋代苏轼
 《临江仙·夜饮东坡醒复醉》
 夜饮东坡醒复醉，归来仿佛三更。家童鼻息已雷鸣。敲门都不应，倚杖听江声。
 长恨此身非我有，何时忘却营营。夜阑风静縠纹平。小舟从此逝，江海寄余生。
 */
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>
 #include <queue>
 #include <vector>
 #include <iostream>
 #include <string>
 #include <ctime>
 #define LOCAL
 const double Pi = acos(-1.0);
 const int MAXN =  + ;
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 struct Num {
    double a , b;
     //构造函数
    Num(double x = ,double y = ) {a = x; b = y;}
     //复数的三种运算
    Num operator + (const Num &c) {return Num(a + c.a, b + c.b);}
    Num operator - (const Num &c) {return Num(a - c.a, b - c.b);}
    Num operator * (const Num &c) {return Num(a * c.a - b * c.b, a * c.b + b * c.a);}
 }x1[MAXN] , x2[MAXN];

 //注意loglen为log后的长度
 void change(Num *t, int len, int loglen){
     //蝶形变换后的序列编号
     for (int i = ; i < len; i++){
         int x = i, k = ;
         for (int j = ; j < loglen; j++, x >>= ) k = (k << ) | (x & );
         if (k < i) swap(t[k], t[i]);
     }
 }
 //基2-FFT
 void FFT(Num *x, int len, int loglen){
     change(x, len, loglen);
     int t = ;
     //t为长度
     for (int i = ; i < loglen; i++, (t <<= )){
         int l = , r = l + t;
         while (l < len){
             //初始化
             Num a, b, wo(cos(Pi / t), sin(Pi / t)), wn(, );
             for (int j = l; j < l + t; j++){
                 a = x[j];
                 b = x[j + t] * wn;
                 //蝶形计算
                 x[j] = a + b;
                 x[j + t] = a - b;
                 wn = wn * wo;
             }
             //注意是合并所以要走2t步
             l = r + t;
             r = l + t;
         }
     }
 }
 //离散傅里叶变换
 void DFT(Num *x, int len, int loglen){
     int t = (<<loglen);
     for (int i = ; i < loglen; i++){
         t >>= ;
         int l = , r = l + t;
         while (l < len){
             Num a, b, wn(, ), wo(cos(Pi / t), -sin(Pi / t));
             for (int j = l; j < l + t; j++){
                 a = x[j] + x[j + t];
                 b = (x[j] - x[j + t]) * wn;
                 x[j] = a;
                 x[j + t] = b;
                 wn = wn * wo;
             }
             l = r + t;
             r = l + t;
         }
     }
     change(x, len, loglen);
     for (int i= ; i < len; i++) x[i].a /= len;
 }
 int solve(char *a, char *b){
     int len1, len2, len, loglen;
     int t, over;
     len1 = strlen(a) << ;
     len2 = strlen(b) << ;
     len = ;
     loglen = ;
     while (len < len1) len <<= , loglen++;
     while (len < len2) len <<= , loglen++;
     //处理len1
     for (int i = ; i < len; i++){
         if (a[i]) x1[i].a = a[i] - '', x1[i].b = ;
         else x1[i].a = x1[i].b = ;
     }
     for (int i = ; i < len; i++){
         if (b[i]) x2[i].a = b[i] - '', x2[i].b = ;
         else x2[i].a = x2[i].b = ;
     }
     FFT(x1, len, loglen);
     FFT(x2, len, loglen);
     for (int i = ; i < len; i++) x1[i] = x1[i] * x2[i];

     DFT(x1, len, loglen);
     over = len = ;
     //转换成十进制的整数
     for (int i = ((len1 + len2) / ) - ; i >= ; i--){
         t = (int)((double)x1[i].a + (double)over + 0.5);
         a[len++] = t % ;
         over = t / ;
     }
     while (over){
         a[len++] = over % ;
         over /= ;
     }
     return len;
 }
 //输出
 void print(char *str, int len){
      for(len--; len>= && !str[len];len--);
     if(len < ) putchar('');
     else for(;len>=;len--) putchar(str[len]+'');
     printf("\n");
 }
 char a[MAXN] , b[MAXN];

 int main() {
     int n;

     scanf("%d", &n);
     for (int i = ; i < n; i++) scanf("%lf%lf", &x1[i].a, &x1[i].b);
     int t = ;
     while ((<<t) < n) t++;
     FFT(x1, n, t);
     for (int i = ; i < n; i++) printf("%.2lf %.2lf\n", x1[i].a / n, x1[i].b / n);
    return ;
 }