UVA 10254 - The Priest Mathematician (dp | 汉诺塔 | 找规律 | 大数)

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题意：

汉诺塔游戏请看 百度百科

正常的汉诺塔游戏是只有3个柱子，并且如果有n个圆盘，至少需要2^n-1步才能达到目标。

但是在这题中，有4根柱子，并且按照下面规则来玩：

1. 先把圆盘顶部前k个盘子全部搬到第四根柱子上，

2. 然后把剩下的n-k个盘子在前3根柱子中按照经典的规则搬到某个柱子上（假设是a柱），

3. 最后再把那k个盘子搬到目标a柱上。

问按照这样的规则，最少需要几步？

思路：

我们先设g[n]表示按照经典的游戏规则（3根柱子），n个盘子最少需要g[n]步，可以知道g[n] = 2^n-1

然后我们再设f[n]表示按照4根柱子的规则来，n个盘子最少需要f[n]步。

那么按照上面步骤可以推出：

1. 把圆盘顶部前k个盘子全部搬到第四根柱子 上 ==》 需要f[k]步

2. 把剩下的n-k个盘子在前3根柱子中按照经典的规则搬到某个柱子上 （假设是a柱） ==》需要g[n-k]步

3. 最后再把那k个盘子搬到目标a柱上 ==》需要f[k]步

所以，f[n] = f[k]*2+g[n-k]

因为f[n]要最小，且k不确定，所以枚举一下k，取最小值即可：

f[n]  =  min{ f[k]*2+g[n-k] , 1<=k<=n }

由于n过大，所以要用到大数。

由于本题的n为10000，上面的算法复杂度为O(n^2)，所以不能用上面方法。

那么就打表找规律一下，并不难找

观察下面前20个，不难找出规律：

f[1] = 1
----------------
f[2] = 3,  f[2] = f[1] + 2^1
f[3] = 5,  f[3] = f[2] + 2^1
共 2 个 2^1
----------------
f[4] = 9,  f[4] = f[3] + 2^2
f[5] = 13,  f[5] = f[4] + 2^2
f[6] = 17,  f[6] = f[5] + 2^2
共 3 个 2^2
----------------
f[7] = 25,  f[7] = f[6] + 2^3
f[8] = 33,  f[8] = f[7] + 2^3
f[9] = 41,  f[9] = f[8] + 2^3
f[10] = 49,  f[10] = f[9] + 2^3
共 4 个 2^3
----------------
f[11] = 65,  f[11] = f[10] + 2^4
f[12] = 81,  f[12] = f[11] + 2^4
f[13] = 97,  f[13] = f[12] + 2^4
f[14] = 113,  f[14] = f[13] + 2^4
f[15] = 129,  f[15] = f[14] + 2^4
共 5 个 2^4
----------------
f[16] = 161,  f[16] = f[15] + 2^5
f[17] = 193,  f[17] = f[16] + 2^5
f[18] = 225,  f[18] = f[17] + 2^5
f[19] = 257,  f[19] = f[18] + 2^5
f[20] = 289,  f[20] = f[19] + 2^5
共 6 个 2^5
----------------

代码：

/**===========================================
 *  This is a solution for ACM/ICPC problem.
 *
 *  @author: shuangde
 *  @blog: http://blog.csdn.net/shuangde800
 *  @email: zengshuangde@gmail.com
 *============================================*/

import java.math.*;
import java.util.Scanner;

public class Main {
	public static void main(String args[]){

 	  	BigInteger f[] = new BigInteger[10010];
 	  	f[0] = BigInteger.valueOf(0);
		f[1] = BigInteger.valueOf(1);
		int i = 2;
		int k=1;
		while(i <= 10000){
			BigInteger add = BigInteger.valueOf(1).shiftLeft(k);
			for(int j=0; j<k+1 && i<=10000; ++j){
				f[i] = f[i-1].add(add);
				++i;
			}
			++k;
		}
		Scanner cin = new Scanner(System.in);
		while(cin.hasNext()){
			int n = cin.nextInt();
			System.out.println(f[n]);
		}
	}
}