UVA 10254 - The Priest Mathematician (dp | 汉诺塔 | 找规律 | 大数)
本文出自 http://blog.csdn.net/shuangde800
题意:
汉诺塔游戏请看 百度百科
正常的汉诺塔游戏是只有3个柱子,并且如果有n个圆盘,至少需要2^n-1步才能达到目标。
但是在这题中,有4根柱子,并且按照下面规则来玩:
1. 先把圆盘顶部前k个盘子全部搬到第四根柱子上,
2. 然后把剩下的n-k个盘子在前3根柱子中按照经典的规则搬到某个柱子上(假设是a柱),
3. 最后再把那k个盘子搬到目标a柱上。
问按照这样的规则,最少需要几步?
思路:
我们先设g[n]表示按照经典的游戏规则(3根柱子),n个盘子最少需要g[n]步,可以知道g[n] = 2^n-1
然后我们再设f[n]表示按照4根柱子的规则来,n个盘子最少需要f[n]步。
那么按照上面步骤可以推出:
1. 把圆盘顶部前k个盘子全部搬到第四根柱子 上 ==》 需要f[k]步
2. 把剩下的n-k个盘子在前3根柱子中按照经典的规则搬到某个柱子上 (假设是a柱) ==》需要g[n-k]步
3. 最后再把那k个盘子搬到目标a柱上 ==》需要f[k]步
所以,f[n] = f[k]*2+g[n-k]
因为f[n]要最小,且k不确定,所以枚举一下k,取最小值即可:
f[n] = min{ f[k]*2+g[n-k] , 1<=k<=n }
由于n过大,所以要用到大数。
由于本题的n为10000,上面的算法复杂度为O(n^2),所以不能用上面方法。
那么就打表找规律一下,并不难找
观察下面前20个,不难找出规律:
f[1] = 1
----------------
f[2] = 3, f[2] = f[1] + 2^1
f[3] = 5, f[3] = f[2] + 2^1
共 2 个 2^1
----------------
f[4] = 9, f[4] = f[3] + 2^2
f[5] = 13, f[5] = f[4] + 2^2
f[6] = 17, f[6] = f[5] + 2^2
共 3 个 2^2
----------------
f[7] = 25, f[7] = f[6] + 2^3
f[8] = 33, f[8] = f[7] + 2^3
f[9] = 41, f[9] = f[8] + 2^3
f[10] = 49, f[10] = f[9] + 2^3
共 4 个 2^3
----------------
f[11] = 65, f[11] = f[10] + 2^4
f[12] = 81, f[12] = f[11] + 2^4
f[13] = 97, f[13] = f[12] + 2^4
f[14] = 113, f[14] = f[13] + 2^4
f[15] = 129, f[15] = f[14] + 2^4
共 5 个 2^4
----------------
f[16] = 161, f[16] = f[15] + 2^5
f[17] = 193, f[17] = f[16] + 2^5
f[18] = 225, f[18] = f[17] + 2^5
f[19] = 257, f[19] = f[18] + 2^5
f[20] = 289, f[20] = f[19] + 2^5
共 6 个 2^5
----------------
代码:
/**===========================================
* This is a solution for ACM/ICPC problem.
*
* @author: shuangde
* @blog: http://blog.csdn.net/shuangde800
* @email: zengshuangde@gmail.com
*============================================*/ import java.math.*;
import java.util.Scanner; public class Main {
public static void main(String args[]){ BigInteger f[] = new BigInteger[10010];
f[0] = BigInteger.valueOf(0);
f[1] = BigInteger.valueOf(1);
int i = 2;
int k=1;
while(i <= 10000){
BigInteger add = BigInteger.valueOf(1).shiftLeft(k);
for(int j=0; j<k+1 && i<=10000; ++j){
f[i] = f[i-1].add(add);
++i;
}
++k;
}
Scanner cin = new Scanner(System.in);
while(cin.hasNext()){
int n = cin.nextInt();
System.out.println(f[n]);
}
}
}
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