51nod 1135 原根 (数论)

题目链接

建议与上一篇欧拉函数介绍结合食用。

知识点:
1.阶：a和模m互质，使a^d≡1(mod m)成立的最小正整数d称为a对模m的阶(指数)
   例如：
　　2^2≡1(mod3),2对模3的阶为2;
　　2^3≡1(mod7),2对模7的阶为3;
2.欧拉函数φ(m)：在[1,m)的区间内与m互质的数的个数。可见前一篇blog
3.设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。

求模素数p的原根a的方法：

对质数 p, φ(p) = p-1, 这题就是要找最小的a使得 a^(p-1)%p = 1 成立（根据费马小定理，该式一定成立，且a可取大于 1 的任意整数），所以只需要验证没有比 p-1 小的数 k 令 a^k%p = 1 。

而 k 不需要全部枚举 ，只需枚举 p-1 除去1和它本身的质因子即可。（如果x为p-1的质因子，且a^x%p = 1,那么x的倍数nx显然也满足a^nx%p = 1 ，所以没必要考虑了。反之同理。）

所以重点就到回到了找质因子上，1e9，还是筛。

参考了很多dalao的博客，但链接没记下来，不好意思。

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #define maxn 50000
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 int prime [maxn];//存素数
 int ppri [maxn];//存p-1的质因子
 void getprime(){//打表
     int cnt = ;
     memset(prime,,sizeof(prime));
     for(int i=;i<maxn;i++){
         if(!prime[i]) prime[++cnt]=i;//如果没被标记过，就是质数
         for(int j=i;j<maxn;j+=i) prime[j] = ;//此质数的倍数都标记为1
     }
 }
 ll pow(ll x,ll n,ll mod){//快速幂
     ll res=;
     while(n>){
         if(n%) res=res*x%mod;
         x=x*x%mod;
         n/=;
     }
     return res;
 }

 int divide(int n){//分解n的质因子
     int cnt=;
     for(int i = ; prime[i] * prime[i] <= n; ++i){
         if(n % prime[i] == )  ppri[++cnt]=prime[i];
         while(n % prime[i] == )  n/=prime[i];
     }
     return cnt;
 }

 int main(){
     int p,a,t,flag,cnt;
     cin>>p;
     getprime();
     cnt=divide(p-);//p-1 的质因子个数
     for(a = ; a <= p - ; ++a){//a 从 2 到 p-1 枚举
         flag=;
         for(int i=; i <= cnt; ++i){
             t = (p - ) / ppri[i];
             if(pow(a, t, p)==){
                 flag=;
                 break;
             }
         }
         if(flag){
             cout<<a<<endl;
             break;
         }
     }
     return ;
 }