[LOJ#2328]「清华集训 2017」避难所

试题描述

“B君啊，你当年的伙伴都不在北京了，为什么你还在北京呢？”

“大概是因为出了一些事故吧，否则这道题就不叫避难所了。”

“唔，那你之后会去哪呢？”

“去一个没有冬天的地方。”

对于一个正整数 $n$，我们定义他在 $b$ 进制下，各个位上的数的乘积为 $p = F(n, b)$。

比如 $F(3338, 10) = 216$。

考虑这样一个问题，已知 $p$ 和 $b$，求最小的 $n$ 满足 $p = F(n, b)$。

这是一个非常有趣的问题，对于一些 $b$ 来说，我们可以贪心来做，比如如果 $b=10, p=216$。

我们可以从 $b-1$ 到 $2$ 试除，直到 $p$ 为 $1$ 为止，答案是 $389$，可以验证 $389$ 是满足 $p = F(n, b)$ 最小的 $n$。

但是对于一些进制 $b$，是不能用贪心做的，比如 $b = 9, p = 216$。使用贪心得到的解是 $3338$，而最优解是 $666$。(均为 $9$ 进制下的。)

本题便是在给定进制 $b$ 的情况下，举出一个这样的反例，或指出这样的反例不存在。

由于计算资源所限，反例中所有数字的乘积不能超过 $10^{18}$。如果最小的反例中所有数字的乘积超过了 $10^{18}$，那么也应该输出 $-1$。

输入

从标准输入读入数据。

第一行一个整数 $t$，表示一共有 $t$ 组数据。

接下来每行一个整数 $b$，表示进制。

输出

输出到标准输出。

如果不存在反例，输出一行一个整数 $-1$。

如果存在反例，首先输出一个整数 $k$，表示反例 $n$ 的位数，接下来在同一行输出 $k$ 个十进制整数，表示任意一个反例的最优解。

输入示例

输出示例

数据规模及约定

对于第 $1$ 个测试点，分值为 $30$，$1 \leq b \leq 32$；

对于第 $2$ 个测试点，分值为 $40$，$1 \leq b \leq 100$；

对于第 $3$ 个测试点，分值为 $30$，$1 \leq t \leq 200, 1 \leq n \leq 100000$。

题解

这题。。。woc居然是个打表。。。

当然只有 $b \le 130$ 的时候需要打表，剩下的可以构造。

当 $b > 130$ 时，实验证明都可以用三个相同的数字举出反例，令这相同的三个数字值为 $p_1p_2$（这是两个数的乘积），那么需要让他的贪心翻车，就要想方设法让贪心搞出 $4$ 位数来，即 $p_2, p_2, p_2, p_1^3$ 这样的一个四位数。

那么只需要满足几个条件：

$p_1, p_2$ 都是素数
$p_1p_2 < b$
$p_1^3 < b$
$p_2^2 \ge b$
$p_1p_2 < p_1^3$

下面是打表程序：

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cstdlib>

#include <cstring>

#include <cctype>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define rep(i, s, t) for(int i = (s); i <= (t); i++)

#define dwn(i, s, t) for(int i = (s); i >= (t); i--)

int read() {

	int x = 0, f = 1; char c = getchar();

	while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }

	while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }

	return x * f;

}

#define maxn 100010

#define LL long long

int prime[maxn], cp;

bool vis[maxn];

void init() {

	rep(i, 2, maxn - 1) {

		if(!vis[i]) prime[++cp] = i;

		for(int j = 1; j <= cp && i * prime[j] < maxn; j++) {

			vis[i*prime[j]] = 1;

			if(i % prime[j] == 0) break;

		}

	}

	return ;

}

int ans, now[maxn], sol[maxn];

void dfs(int up, int x, int cur) {

	if(ans <= cur) return ;

	if(x == 1){ ans = cur; rep(i, 1, cur) sol[i] = now[i]; return ; }

	dwn(i, up, 2) if(x % i == 0) now[cur+1] = i, dfs(i, x / i, cur + 1);

	return ;

}

int main() {

	freopen("list.txt", "w", stdout);

	init();

	int reach = 140;

	printf("char Ans[%d][50] = {", reach);

	rep(b, 1, reach) {

		int x = 1; bool ok = 0;

		while(x <= 1000000) {

			int tmp = ++x;

			// greedy

			int cnt = 0;

			dwn(i, b - 1, 2) if(tmp % i == 0) tmp /= i, i++, cnt++;

			// force

			ans = cnt;

			dfs(b - 1, x, 0);

			if(ans < cnt) {

				sort(sol + 1, sol + ans + 1);

				printf("\"%d ", ans);

				rep(i, 1, ans) printf("%d%c", sol[i], i < ans ? ' ' : '\"');

				ok = 1;

				break;

			}

		}

		if(!ok) printf("\"-1\"");

		printf("%s", b < reach ? ", " : "};\n");

	}

	return 0;

}

下面是 AC 程序：

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cstdlib>

#include <cstring>

#include <cctype>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define rep(i, s, t) for(int i = (s); i <= (t); i++)

#define dwn(i, s, t) for(int i = (s); i >= (t); i--)

int read() {

	int x = 0, f = 1; char c = getchar();

	while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }

	while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }

	return x * f;

}

#define maxn 100010

#define LL long long

char Ans[140][50] = {"-1", "-1", "-1", "-1", "-1", "-1", "-1", "-1", "3 6 6 6", "-1", "-1", "-1", "3 9 10 10", "3 9 10 10", "3 9 10 10", "-1", "3 12 14 14", "3 12 14 14", "3 10 15 15", "3 10 15 15", "3 10 15 15", "3 10 15 15", "3 10 15 15", "3 10 15 15", "3 10 15 15", "3 15 18 18", "3 15 18 18", "3 14 20 21", "3 15 21 21", "3 15 21 21", "3 15 21 21", "3 15 21 21", "3 15 21 21", "3 15 21 21", "3 15 21 21", "3 21 21 21", "3 21 21 21", "3 21 21 21", "3 21 21 21", "3 21 21 21", "3 21 21 21", "3 21 21 21", "3 21 21 21", "3 21 21 21", "3 21 21 21", "3 21 21 21", "3 21 21 21", "3 21 21 21", "3 21 21 21", "3 22 33 35", "3 22 33 35", "3 22 33 35", "3 22 33 35", "3 22 33 35", "3 22 33 35", "3 26 35 39", "3 26 35 39", "3 26 35 39", "3 26 35 39", "3 26 35 39", "3 26 35 39", "3 26 35 39", "3 26 35 39", "3 26 35 39", "3 26 35 39", "3 22 44 49", "3 22 44 49", "3 22 44 49", "3 22 44 49", "3 22 44 49", "3 22 44 49", "3 22 44 49", "3 22 44 49", "3 22 44 49", "3 22 44 49", "3 22 44 49", "3 22 44 49", "3 26 49 52", "3 26 49 52", "3 26 49 52", "3 26 49 52", "3 26 49 52", "3 26 49 52", "3 26 49 52", "3 26 49 52", "3 26 49 52", "3 26 49 52", "3 26 49 52", "3 26 49 52", "3 26 49 52", "3 26 49 52", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 55 55", "3 33 65 65", "3 33 65 65", "3 33 65 65", "3 33 65 65", "3 33 65 65", "3 33 65 65", "3 33 65 65", "3 33 65 65", "3 33 65 65", "3 33 65 65", "3 33 65 65", "3 33 65 65", "3 33 65 65", "3 33 65 65", "3 33 65 65", "3 33 65 65", "3 33 65 65", "3 33 65 65", "3 33 65 65"};

int prime[maxn], cp;

bool vis[maxn];

void init() {

	rep(i, 2, maxn - 1) {

		if(!vis[i]) prime[++cp] = i;

		for(int j = 1; j <= cp && i * prime[j] < maxn; j++) {

			vis[i*prime[j]] = 1;

			if(i % prime[j] == 0) break;

		}

	}

	return ;

}

int main() {

	init();

	int T = read();

	while(T--) {

		int b = read();

		if(b > 140) {

			bool ok = 0;

			for(int i = 1; i <= cp && prime[i] <= b; i++) {

				for(int j = 1; j <= cp && prime[j] <= b; j++) {

					int p1 = prime[i], p2 = prime[j];

					if((LL)p1 * p2 < b && (LL)p1 * p1 * p1 < b && (LL)p2 * p2 >= b && (LL)p1 * p1 > p2) {

						printf("3 %lld %lld %lld\n", (LL)p1 * p2, (LL)p1 * p2, (LL)p1 * p2);

						ok = 1; break;

					}

				}

				if(ok) break;

			}

			if(!ok) puts("-1");

		}

		else puts(Ans[b-1]);

	}

	return 0;

}