题目链接:http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1022

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N堆石子摆成一个环。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆,并将新的一堆石子数记为该次合并的代价。计算将N堆石子合并成一堆的最小代价。
 
例如: 1 2 3 4,有不少合并方法
1 2 3 4 => 3 3 4(3) => 6 4(9) => 10(19)
1 2 3 4 => 1 5 4(5) => 1 9(14) => 10(24)
1 2 3 4 => 1 2 7(7) => 3 7(10) => 10(20)
 
括号里面为总代价可以看出,第一种方法的代价最低,现在给出n堆石子的数量,计算最小合并代价。
 
Input
第1行:N(2 <= N <= 1000)
第2 - N + 1:N堆石子的数量(1 <= A[i] <= 10000)
Output
输出最小合并代价
Input示例
4
1
2
3
4
Output示例
19
 
 
题解:
1. 一开始想到的是:dp[l][r] = min(dp[l][k]+dp[k+1][r]+w[l][r]), l<=k<r 的区间DP,但时间复杂度为O(n^3),而n<=1e3,所以无法通过。
2. 然后需要四边形不等式进行优化,四边形不等式优化DP的结论请看:传送门
3. 优化后:dp[l][r] = min(dp[l][k]+dp[k+1][r]+w[l][r]), s[l][r-1]<=s[l][r]<=s[l+1][r],即s[l][r-1]<=k<=s[l+1][r]
 
w[][]数组需要满足满足的条件:
1) 区间包含单调性:被包含的区间的值小于等于包含的区间的值。
2) 四边形不等式:交叉区间之和小于等于被包含区间加包含区间的值
 
 
 
代码如下:
 #include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <string>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF = 2e9;
const LL LNF = 9e18;
const int MOD = 1e9+;
const int MAXN = 2e3+; int dp[MAXN][MAXN], sum[MAXN], w[MAXN][MAXN], s[MAXN][MAXN];
int main()
{
int n;
while(scanf("%d", &n)!=EOF)
{
sum[] = ;
for(int i = ; i<=n; i++) //因为初始时为环(而非一行),所以复制多一份到后面,
scanf("%d",&sum[i]), sum[n+i] = sum[i]; for(int i = ; i<*n; i++) //求前缀和
sum[i] += sum[i-]; for(int l = ; l<*n; l++) //求出每一段区间,最后一次合并所花费的代价(必为质量和)
for(int r = l; r<*n; r++)
w[l][r] = sum[r]-sum[l-]; for(int i = ; i<*n; i++) //初始化单位区间
dp[i][i] = , s[i][i] = i; for(int len = ; len<=n; len++) //递推
for(int l = ; l+len-<*n; l++)
{
int r = l+len-;
dp[l][r] = INF;
for(int k = s[l][r-]; k<=s[l+][r]; k++)
if(dp[l][r]>dp[l][k]+dp[k+][r]+w[l][r]) //四边形不等式优化
{
dp[l][r] = dp[l][k]+dp[k+][r]+w[l][r];
s[l][r] = k;
}
}
int ans = INF;
for(int l = ; l<=n; l++) //枚举起点,取最小值
ans = min(ans, dp[l][l+n-]);
printf("%d\n", ans);
}
}

 

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