P3308-[SDOI2014]LIS【最小割】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3308

---

题目大意

三个\(n\)个数字的序列\(A,B,C\)。要求删除其中某些位置\(i\)使得\(A\)的最长上升子序列至少减少\(1\)且删去位置\(B\)的权值和最小的情况下满足删去位置的\(C\)值升序排序后字典序最小。

---

解题思路

首先\(B\)值最小很好求，跑一遍\(LIS\)的\(dp\)，然后每个点拆成两个点，然后如果\(f[x]\)转移到\(f[y]\)是最优的就建边然后跑最小割就好了。

大体和P2766 最长不下降子序列问题差不多

也就是现在我们要求字典序最小的最小割，需要利用到最小割的性质。

如果一条边\(x,y\)是可行割，那么它满足在残量网络上\(x\)到达不了\(y\)。

首先如果\(x->y\)没有满流那么肯定不是最小割，其次如果满流了但是还有一条\(x\)到\(y\)的路径，那么证明如果走这条增广路一定可以使最大流更大，所以也不是最小割。

那么这样我们就可以判断一条边是否可行了，然后需要消去其他等价边的影响，大体方法是从\(T\)到\(y\)跑一次\(dinic\)，再从\(x\)到\(S\)跑一次\(dinic\)。这个操作叫退流，这样残量网络就变成了满流边\(x->y\)的残量网络了。

先跑一次\(dinic\)，然后按照\(C\)值排序，从小到大判断加入边即可。

---

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=710*2,inf=1e18;
struct node{
    ll to,next,w;
}a[N*N];
ll T,n,tot,ls[N],dep[N],A[N],B[N],C[N],f[N],p[N];
vector<ll> prt;queue<ll> q;
void addl(ll x,ll y,ll w){
    a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;a[tot].w=w;
    a[++tot].to=x;a[tot].next=ls[y];ls[y]=tot;a[tot].w=0;
}
bool bfs(ll s,ll t){
    while(!q.empty())q.pop();q.push(s);
    memset(dep,0,sizeof(dep));dep[s]=1;
    while(!q.empty()){
        ll x=q.front();q.pop();
        for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
            ll y=a[i].to;
            if(dep[y]||!a[i].w)continue;
            dep[y]=dep[x]+1;
            if(y==t)return 1;
            q.push(y);
        }
    }
    return 0;
}
ll dinic(ll x,ll t,ll flow){
    if(x==t)return flow;
    ll rest=0,k;
    for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
        ll y=a[i].to;
        if(dep[x]+1!=dep[y]||!a[i].w)continue;
        rest+=(k=dinic(y,t,min(flow-rest,a[i].w)));
        a[i].w-=k;a[i^1].w+=k;
        if(rest==flow)return flow;
    }
    if(!rest)dep[x]=0;
    return rest;
}
bool cmp(ll x,ll y)
{return C[x]<C[y];}
signed main()
{
    scanf("%lld",&T);
    while(T--){
        memset(ls,0,sizeof(ls));tot=1;
        scanf("%lld",&n);
        for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&A[i]);
        for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&B[i]);
        for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&C[i]);
        ll maxs=0,s=2*n+1,t=s+1;
        for(ll i=1;i<=n;i++){
            f[i]=1;p[i]=i;
            for(ll j=1;j<i;j++)
                if(A[i]>A[j])f[i]=max(f[i],f[j]+1);
            maxs=max(maxs,f[i]);
        }
        for(ll i=1;i<=n;i++){
            if(f[i]==1)addl(s,i,inf);
            if(f[i]==maxs)addl(i+n,t,inf);
            addl(i,i+n,B[i]);
            for(ll j=i+1;j<=n;j++)
                if(A[i]<A[j]&&f[i]+1==f[j])
                    addl(i+n,j,inf);
        }
        ll ans=0;prt.clear();
        while(bfs(s,t))
            ans+=dinic(s,t,inf);
        printf("%lld ",ans);
        sort(p+1,p+1+n,cmp);
        for(ll i=1;i<=n;i++){
            ll x=p[i];
            if(bfs(x,x+n))continue;
            while(bfs(t,x+n))dinic(t,x+n,inf);
            while(bfs(x,s))dinic(x,s,inf);
            prt.push_back(x);
        }
        printf("%lld\n",prt.size());
        sort(prt.begin(),prt.end());
        for(ll i=0;i<prt.size();i++)
            printf("%lld ",prt[i]);
        putchar('\n');
    }
    return 0;
}