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python1对1辅导老师

时常直播编程,直播时免费回答简单问题。

前置知识: 递归算法(recursion algorithm)。

我的递归教程: 【教程】python递归三部曲(基于turtle实现可视化)

回溯与递归的关系:

回溯是一种算法思想,递归是实现方式。

回溯法经典问题:

八皇后问题、数独问题。

(其实两个很像)

八皇后问题

八皇后问题是一个以国际象棋为背景的问题:

如何在8×8的国际象棋棋盘上放置八个皇后,使其不互相攻击。

即任两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。

n皇后问题

八皇后问题可以推广为更一般的n皇后摆放问题:这时棋盘的大小变为n×n,而皇后个数也变成n。

(当且仅当n = 1 或 n ≥ 4时问题有解)

4皇后问题!

八皇后讨论起来比较麻烦,先讨论四皇后情况(n=4)

首先展示下错误的情况:

如上图所示,三个图的错误分别是

  1. 第一行有重复了
  2. 对角线有重复了。(注意有两个对角线)
  3. 第一列有重复

想要正确,则每一行每一列,每个对角线(对角线有两个方向)都不能有重复项。

正确的情况示例如下:

回溯法

回溯法(backtracking)是暴力搜索法中的一种。

其核心思想就是不断尝试,不行就后退再试其他的。

关于这一思想,我之前有个视频,感觉能比较形象地展示,感兴趣可以看看:

迷宫探索动画

接下来我们用回溯法探究下刚才的4皇后问题。

回溯法过程展示

个人感觉用行列坐标表示不够直观,所以给每个格子从前往后依次编号。

后面用编号来称呼位置(无特殊说明的话)

如下图

同时四个皇后从前往后按次序编为

\(Q_1\)、\(Q_2\)、\(Q_3\)、\(Q_4\)

原始的回溯法

每次会从前往后依次尝试每个编号的位置。

为了简化谈论,以下先进行了一定的优化。

由于每行不能重复,n个皇后必须分别放在n行上。

当有一行放不下了时。也就失败了。

所以

\(Q_1\)必须放在第一行(行索引为0)

\(Q_2\)必须放在第二行(行索引为1)

\(Q_3\)必须放在第三行(行索引为2)

\(Q_4\)必须放在第四行(行索引为3)

1 \(Q_1\)放位置0

使用回溯法,\(Q_2\)仍然会从0开始尝试,发现放不了,就往后走。

由于\(Q_1\)放位置0。所以

0、1、2、3、

4、8、12、

5、10、15都放不了

\(Q_2\)从第二行开头试。

即从4、5开始试,一直试到6才能够放下,那么就先放在这里。

\(Q_2\)放位置6

那么接下来继续尝试\(Q_3\),

会发现第三行(行索引为2)已经放不了了。

如下图

这说明

\(Q_2\)放位置6失败

回来重新放\(Q_2\),放位置7

\(Q_2\)放位置7

此时\(Q_3\)唯一能放的位置只有9。

之后,\(Q_4\)已经无处可放。

如下图

这说明

\(Q_2\)放位置7失败

\(Q_2\)无位置可放

\(Q_2\)无位置可放,

说明\(Q_1\)放在位置0失败。

\(Q_1\)需要尝试其他位置,即尝试先放在位置1。

到这里回溯法的特点其实就已经展现的比较够了:

即不断向下尝试,如果所有尝试都失败,那就后退一步,重新尝试。

2 \(Q_1\)放位置1

此时\(Q_2\)只能放在位置7,

之后\(Q_3\)只能放在位置8,

最后\(Q_3\)只能放在位置14,

即如下图所示

到这里,如果只要求找到一个解法,问题就已经结束了,如果要找到所有解法,那就是继续往后不断尝试。

代码实现

原始回溯法代码

class NQueens:
def __init__(self, n):
self.n = n
# 保存每个皇后的坐标, (ci, ri)
# 第一行第一列的皇后坐标为(0, 0)
self.one_solution = [] def check_can_place(self, ri, ci):
for pos in self.one_solution:
pc, pr = pos
if pc == ci: # 行检测
return False if pr == ri: # 列检测
return False if pr - pc == ri - ci: # 对角线检测 1
return False if pr + pc == ri + ci: # 对角线检测 2
return False return True def solve(self):
for ri in range(self.n):
for ci in range(self.n):
if self.check_can_place(ri, ci):
pos = (ci, ri)
self.one_solution.append(pos) if len(self.one_solution) == self.n:
return True res = self.solve()
if res:
return True
else:
self.one_solution.pop() return False def show_in_board(self):
board = [
["-" for i in range(self.n)] for j in range(self.n)
]
for pos in self.one_solution:
pc, pr = pos
board[pr][pc] = "Q" for row in board:
print(" ".join(row)) nq = NQueens(8)
res = nq.solve()
if res:
print("Queens positions:")
print(nq.one_solution)
print("Queens in board:")
nq.show_in_board()

输出结果

Queens positions:
[(0, 0), (4, 1), (7, 2), (5, 3), (2, 4), (6, 5), (1, 6), (3, 7)]
Queens in board:
Q - - - - - - -
- - - - Q - - -
- - - - - - - Q
- - - - - Q - -
- - Q - - - - -
- - - - - - Q -
- Q - - - - - -
- - - Q - - - -

check_can_place方法

该方法,用于检查指定的横纵坐标,是否还能防止皇后(不与已经放置的皇后冲突)

检查是否能放置

行和列好分析,对角线情况则比较麻烦。

两种对角线图示如下

第一种对角线(红色对角线)

每一条对角线上格子,\(r-c\)都是相同的值。

可以通过这个值来判断是否在同一条对角线上。

第二种对角线(绿色对角线)

每一条对角线上格子,\(r+c\)都是相同的值。

可以通过这个值来判断是否在同一条对角线上。

solve方法解析

def solve(self):
for ri in range(self.n):
for ci in range(self.n):
# 从前往后尝试所有的位置,看是否能放皇后
if self.check_can_place(ri, ci):
# 成功则添加
pos = (ci, ri)
self.one_solution.append(pos) if len(self.one_solution) == self.n:
# 皇后数量已到达n,问题解决,返回解决成功
return True # 走到这里,说明还没解决 # 递归调用自身,看当前情况往后是否能够解决成功
res = self.solve()
if res:
# 成功,就继续返回解决成功
return True
else:
# 失败,之前添加的pos方法,是不成功的,将其弹出,之后继续尝试
self.one_solution.pop() return False

代码优化与拓展

优化:一行一试

上面的原始回溯法的代码。

每一次放皇后都是从前往后一个一个试,效率很低。

这里按照上文讨论中的思路进行优化,

即每一行放一个皇后。

那么代码里面就是每一行,从第一列开始一直尝试到最后一列。

一行放好后,就往下一行进行尝试。

这里只需要给NQueens类添加一个新方法solve_advanced即可

def solve_advanced(self, ri=0):
for ci in range(self.n):
if self.check_can_place(ri, ci):
pos = (ci, ri)
self.one_solution.append(pos) if ri == self.n - 1:
return True res = self.solve_advanced(ri+1)
if res:
return True
else:
self.one_solution.pop() return False

调用时的res = nq.solve()改成res = nq.solve_advanced()即可。

输出和原始回溯法时的输出是一样的。

不过代码运行的速度会得到很大提升。

不仅如此,优化后的代码在去求所有解时,不会求出重复情况。

拓展:获得所有解(不重复)

求所有解的代码在优化后的方法上,简单调整以下就好

  • 不再返回(即不会试到一个成功的就退出)
  • 成功后将结果记录,记录时要使用切片进行拷贝。

首先,先在NQueens__init__方法中添加新的属性,用于记录解决方法。

self.solutions = []

然后给NQueens类添加新方法solve_all

def solve_all(self, ri=0):
for ci in range(self.n):
if self.check_can_place(ri, ci):
pos = (ci, ri)
self.one_solution.append(pos) if ri == self.n - 1:
self.solutions.append(self.one_solution[:])
else:
self.solve_all(ri+1) self.one_solution.pop()

然后修改下show_in_board方法。

因为原来的方法只能展示self.one_solution

这里希望也能够展示别的solution

修改后的show_in_board如下

def show_in_board(self, sol=None):
board = [
["-" for i in range(self.n)] for j in range(self.n)
]
if sol is None:
sol = self.one_solution for pos in sol:
pc, pr = pos
board[pr][pc] = "Q" for row in board:
print(" ".join(row))

总代码

一个NQueens的实例,只能调用三个方法中的一个(一次)

  • solve
  • solve_advanced
  • solve_all

重复调用可能会出问题(需要再调用,建议新建NQueens实例)

以下总代码中只展示solve_all的调用结果。

且由于八皇后问题的解太多(有92个),

以下只展示下六皇后问题的调用求解

class NQueens:
def __init__(self, n):
self.n = n
# 保存每个皇后的坐标, (ci, ri)
# 第一行第一列的皇后坐标为(0, 0)
self.one_solution = [] self.solutions = [ ] def check_can_place(self, ri, ci):
for pos in self.one_solution:
pc, pr = pos
if pc == ci: # 行检测
return False if pr == ri: # 列检测
return False if pr - pc == ri - ci: # 对角线检测 1
return False if pr + pc == ri + ci: # 对角线检测 2
return False return True def solve(self):
for ri in range(self.n):
for ci in range(self.n):
if self.check_can_place(ri, ci):
pos = (ci, ri)
self.one_solution.append(pos) if len(self.one_solution) == self.n:
return True res = self.solve()
if res:
return True
else:
self.one_solution.pop() return False def solve_advanced(self, ri=0):
for ci in range(self.n):
if self.check_can_place(ri, ci):
pos = (ci, ri)
self.one_solution.append(pos) if ri == self.n - 1:
return True res = self.solve_advanced(ri+1)
if res:
return True
else:
self.one_solution.pop() return False def solve_all(self, ri=0):
for ci in range(self.n):
if self.check_can_place(ri, ci):
pos = (ci, ri)
self.one_solution.append(pos) if ri == self.n - 1:
self.solutions.append(self.one_solution[:])
else:
self.solve_all(ri+1) self.one_solution.pop() def show_in_board(self, sol=None):
board = [
["-" for i in range(self.n)] for j in range(self.n)
]
if sol is None:
sol = self.one_solution for pos in sol:
pc, pr = pos
board[pr][pc] = "Q" for row in board:
print(" ".join(row)) nq = NQueens(6) solutions = nq.solve_all()
for si in range(len(nq.solutions)):
sol = nq.solutions[si]
print("=== Solution %s ===" % si)
print("Queens positions:")
print(sol)
print("Queens in board:")
nq.show_in_board(sol)

输出

总代码的输出如下

=== Solution 0 ===
Queens positions:
[(1, 0), (3, 1), (5, 2), (0, 3), (2, 4), (4, 5)]
Queens in board:
- Q - - - -
- - - Q - -
- - - - - Q
Q - - - - -
- - Q - - -
- - - - Q -
=== Solution 1 ===
Queens positions:
[(2, 0), (5, 1), (1, 2), (4, 3), (0, 4), (3, 5)]
Queens in board:
- - Q - - -
- - - - - Q
- Q - - - -
- - - - Q -
Q - - - - -
- - - Q - -
=== Solution 2 ===
Queens positions:
[(3, 0), (0, 1), (4, 2), (1, 3), (5, 4), (2, 5)]
Queens in board:
- - - Q - -
Q - - - - -
- - - - Q -
- Q - - - -
- - - - - Q
- - Q - - -
=== Solution 3 ===
Queens positions:
[(4, 0), (2, 1), (0, 2), (5, 3), (3, 4), (1, 5)]
Queens in board:
- - - - Q -
- - Q - - -
Q - - - - -
- - - - - Q
- - - Q - -
- Q - - - -

参考文档

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