洛谷4299首都（LCT维护动态重心+子树信息）

这个题目很有意思

QWQ

根据题目描述，我们可以知道，首都就是所谓的树的重心，那么我们假设每颗树的重心都是\(root\)的话，对于每次询问，我们只需要\(findroot(x)\)就可以。

那么如何处理\(link\)操作呢QWQ

这里是看了题解，我才知道是怎么做的

大致的思想就是：

！启发式合并！

首先，这里需要注意树的中心具有的两个性质：

1。以这个点为根，那么所有的子树（不算整个树自身）的大小都不超过整个树大小的一半。

2.假设两个联通块x和y进行合并，而且\(size(x)>size(y)\)，那么新的重心必然在连接原来两棵树重心的路径上。

那么我们对于一次\(link\)，首先要知道两棵树的重心的路径是什么样的，我们可以通过\(link+access\)，然后中序遍历来求出来

void dfs(int x,int lim)
{
	if (top>lim)
	{
		flag=true;
		return;
	}
	pushdown(x);
	if (ch[x][0]) dfs(ch[x][0],lim);
	if (flag) return;
	sta[++top]=x;
	if (flag) return;
	if (ch[x][1]) dfs(ch[x][1],lim);
	if (flag) return;
}

link(x,y);
access(x);
splay(ry);
dfs(ry,ymh);

一定记得\(dfs\)的时候要\(pushdown\)！！！

同时dfs的时候，如果路径上的点已经要比，较小的子树的size要大，就可以直接\(return\)，因为继续下去一定没有意义，就不可能会更新答案了。

然后把这条路径统计出来之后，我们只需要从\(root_大\)开始，看看当前的节点的子树大小*2，是不是大于总的\(size\)，如果大于，就移动，不然就\(break\)

int r = ry;
for (int i=1;i<=top;i++)
{
	splay(sta[i]);
	int now = xv[sta[i]]+1+sum[ch[sta[i]][1]];
	if (2*now>size || (2*now==size && sta[i]<=r)) r=sta[i];
	else break;
}
makeroot(r);
ans^=r;

大致就是这样，然后对于整体的询问，我们维护一个\(ans\)即可，每次合并之前先异或上两个\(root\)，然后最后再异或一下最后合并完的\(root\)

上代码

// luogu-judger-enable-o2
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>

using namespace std;

inline int read()
{
  int x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
  return x*f;
}

const int maxn = 3e5+1e2;

int ch[maxn][3];
int fa[maxn],rev[maxn],st[maxn];
int n,m;
int sta[maxn];
int sum[maxn],xv[maxn];
int ans;

int son(int x)
{
    if (ch[fa[x]][0]==x) return 0;
    else return 1;
}

bool notroot(int x)
{
   return ch[fa[x]][0]==x || ch[fa[x]][1]==x;
}

void update(int x)
{
    sum[x]=sum[ch[x][0]]+sum[ch[x][1]]+xv[x]+1;
}

void reverse(int x)
{
    swap(ch[x][0],ch[x][1]);
    rev[x]^=1;
}

void pushdown(int x)
{
    if (rev[x])
    {
        if (ch[x][0]) reverse(ch[x][0]);
        if (ch[x][1]) reverse(ch[x][1]);
        rev[x]=0;
    }
}

void rotate(int x)
{
    int y=fa[x],z=fa[y];
    int b=son(x),c=son(y);
    if (notroot(y)) ch[z][c]=x;
    fa[x]=z;
    ch[y][b]=ch[x][!b];
    fa[ch[x][!b]]=y;
    ch[x][!b]=y;
    fa[y]=x;
    update(y);
    update(x);
}

void splay(int x)
{
    int y=x,cnt=0;
    st[++cnt]=y;
    while (notroot(y)) y=fa[y],st[++cnt]=y;
    while (cnt) pushdown(st[cnt--]);
    while (notroot(x))
    {
        int y=fa[x],z=fa[y];
        int b=son(x),c=son(y);
        if (notroot(y))
        {
        	if (b==c) rotate(y);
        	else rotate(x);
        }
        rotate(x);
    }
    update(x);
}

void access(int x)
{
    for (int y=0;x;y=x,x=fa[x])
    {
        splay(x);
        xv[x]+=sum[ch[x][1]]-sum[y];
        ch[x][1]=y;
        update(x);
    }
}

void makeroot(int x)
{
    access(x);
    splay(x);
    reverse(x);
}

int findroot(int x)
{
    access(x);
    splay(x);
    while (ch[x][0])
    {
        pushdown(x);
        x=ch[x][0];
    }
    return x;
}

void split(int x,int y)
{
   makeroot(x);
   access(y);
   splay(y);
}

void link(int x,int y)
{
    split(x,y);
    if (findroot(y)!=x)
    {
      xv[y]+=sum[x];
      fa[x]=y;
      update(y);
    }

}

int q;
bool flag=false;
int top;

void dfs(int x,int lim)
{
    if (top>lim)
    {
        flag=true;
        return;
    }
    pushdown(x);
    if (ch[x][0]) dfs(ch[x][0],lim);
    if (flag) return;
    sta[++top]=x;
    if (flag) return;
    if (ch[x][1]) dfs(ch[x][1],lim);
    if (flag) return;
}

int main()
{
   n=read();q=read();
   for (int i=1;i<=n;i++) sum[i]=1,ans^=i;
   for (int i=1;i<=q;i++)
   {
   	  char s[10];
   	  scanf("%s",s+1);
   	  if (s[1]=='X')
   	  {
   	  	cout<<ans<<"\n";
      }
      if (s[1]=='Q')
      {
      	int x=read();
      	cout<<findroot(x)<<"\n";
      }
      if (s[1]=='A')
      {
      	 int x=read(),y=read();
      	 flag=false;
      	 top=0;
      	 int rx=findroot(x);
      	 splay(rx);
      	 int ry=findroot(y);
      	 splay(ry);
         ans^=rx^ry;

      	 if (sum[rx]>sum[ry] || (sum[rx]==sum[ry] && rx<ry)) swap(x,y),swap(rx,ry);
      	 int ymh = sum[rx];int size = sum[rx]+sum[ry];
      	 link(x,y);
      	 access(x);
      	 splay(ry);
      	 dfs(ry,ymh);
      	 int r = ry;
      	 for (int i=1;i<=top;i++)
      	 {
      	 	splay(sta[i]);
      	 	int now = xv[sta[i]]+1+sum[ch[sta[i]][1]];
      	 	if (2*now>size || (2*now==size && sta[i]<=r)) r=sta[i];
      	 	else break;
         }
         makeroot(r);
         ans^=r;
      }
   }
   return 0;
}