洛谷 P7155 [USACO20DEC] Spaceship P（dp）

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Yet another 1e9+7

Yet another 计数 dp

Yet another 我做不出来的题

考虑合法的按键方式长啥样。假设我们依次按下了 \(p_1,p_2,\dots,p_m\) 号按键。

若 \(m=1\)，则序列 \(p_1,p_2,\dots,p_m\) 显然合法。

若 \(m>1\)，则 \(p_1,p_2,\dots,p_m\) 必须有唯一最大值 \(x\)（否则的话第二次按 \(x\) 的时候就不合法了）。假设 \(x\) 将原序列分成两个子序列 \(p_1,p_2,\dots,p_{k-1}\) 和 \(p_{k+1},p_{k+2},\dots,p_{m}\)，那么这两个序列的最大值必须都小于 \(x\)，否则原序列就不会有唯一最大值 \(x\) 了。并且 \(p_1,p_2,\dots,p_{k-1}\) 和 \(p_{k+1},p_{k+2},\dots,p_{m}\) 也必须是合法序列。

形式化地说，\(p_1,p_2,\dots,p_m\) 必须是一个大根堆的中序遍历。

这样就可以 \(dp\) 了。设 \(dp_{a,b,c,x1,x2}\) 表示起点为 \(a\)，终点为 \(b\)，按下的按键的编号都 \(\leq c\) 的合法的行走路线个数。\(x1\) 表示是否对第一次的按键有要求，\(x2\) 表示是否对最后一次的按键有要求。

先考虑 \(x1=x2=0\) 的情况，即对起点和终点按键都没有要求。

那么有以下两种转移方式：

• 按键序列中按下的编号最大的按键 \(<c\)，则 \(dp_{a,b,c,0,0}=dp_{a,b,c-1,0,0}\)
• 若按键序列中按下的编号最大的按键 \(=c\)，那么我们枚举在 \(k\) 点按下编号为 \(c\) 的键，那么 \(a\) 到 \(b\) 的路径被我们拆成了两部分 \(a\to k\) 和 \(k\to b\)。我们进一步枚举 \(k\) 之前到达的点 \(u\) 和 \(k\) 接下来到达的点 \(v\)，那么根据之前的推论，\(a\to u\) 路径上我们只能按下编号 \(\leq c-1\) 的键，\(v\to b\) 的路径上我们也只能按下编号 \(\leq c-1\) 的键。故我们有 \(dp_{a,b,c,0,0}=\sum\limits_{k}\sum\limits_{(u,k)}\sum\limits_{(k,v)}dp_{a,u,c-1,0,0}\times dp_{v,b,c-1,0,0}\)，记 \(f_{a,k,c}=\sum\limits_{(u,k)}dp_{a,u,c-1,0,0}\)， \(g_{b,k,c}=\sum\limits_{(k,v)}dp_{v,b,c-1,0,0}\)，那么上述式子可优化为 \(dp_{a,b,c,0,0}=\sum\limits_{k}f_{a,k,c}\times g_{b,k,c}\)（当然，如果 \(k=a\) 那么 \(k\) 可以是路径当中第一个点，此时就不存在 \(k\) 之前的点了，故令所有 \(f_{a,a,c}\) 加 \(1\) 即可，\(g_{b,b,c}\) 同理）。

紧接着是 \(x1\neq 0\) 或 \(x2\neq 0\) 的情况，这里以 \(x1=1,x2=0\) 的情况为例，其它两种情况同理。

还是分两种情况（其实与之前那种情况大差不差）：

• 按键序列中按下的编号最大的按键 \(<c\)，则 \(dp_{a,b,c,1,0}=dp_{a,b,c-1,1,0}\)。
• 若按键序列中按下的编号最大的按键 \(=c\)， \(dp_{a,b,c,1,0}=\sum\limits_{k}\sum\limits_{(u,k)}\sum\limits_{(k,v)}dp_{a,u,c-1,1,0}\times dp_{v,b,c-1,0,0}\)，你还是记 \(f_{a,k,c}=\sum\limits_{(u,k)}dp_{a,u,c-1,1,0}\)， \(g_{b,k,c}=\sum\limits_{(k,v)}dp_{v,b,c-1,0,0}\)，将上述式子优化为 \(dp_{a,b,c,1,0}=\sum\limits_{k}f_{a,k,c}\times g_{b,k,c}\)（只不过 \(k=a\) 的情况要改一下，只有当 \(c=bs\) 的时候才能令 \(f_{a,a,c}\) 加 \(1\)）

这样 \(dp\) 一遍是 \(n^4\) 的，加上 \(q\) 次询问的条件，显然不能让我们满意。

不过发现对于每组询问，只有当 \(a=s\) 的时候 \(dp_{a,b,c,1,0}\) 才有意义，只有当 \(b=t\) 的时候 \(dp_{a,b,c,0,1}\) 才有意义。所以可以预处理出 \(dp_{a,b,c,0,0}\) 的值，对于每组询问重新计算 \(dp_{a,b,c,0,1},dp_{a,b,c,1,0},dp_{a,b,c,1,1}\) 的值。这样总复杂度就降到了 \(n^4+qn^3\)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define fz(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ffe(it,v) for(__typeof(v.begin()) it=v.begin();it!=v.end();it++)
#define fill0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define fill1(a) memset(a,-1,sizeof(a))
#define fillbig(a) memset(a,63,sizeof(a))
#define pb push_back
#define ppb pop_back
#define mp make_pair
template<typename T1,typename T2> void chkmin(T1 &x,T2 y){if(x>y) x=y;}
template<typename T1,typename T2> void chkmax(T1 &x,T2 y){if(x<y) x=y;}
typedef pair<int,int> pii;
typedef long long ll;
template<typename T> void read(T &x){
	x=0;char c=getchar();T neg=1;
	while(!isdigit(c)){if(c=='-') neg=-1;c=getchar();}
	while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
	x*=neg;
}
const int MAXN=60;
const int MOD=1e9+7;
int n,k,qu;
char ed[MAXN+5][MAXN+5];
int dp[2][2][MAXN+5][MAXN+5][MAXN+5],f[2][MAXN+5][MAXN+5][MAXN+5],g[2][MAXN+5][MAXN+5][MAXN+5];
void prework(){
	for(int x=1;x<=k;x++){
		for(int i=1;i<=n;i++) for(int k=1;k<=n;k++) for(int l=1;l<=n;l++)
			if(ed[l][k]=='1') f[0][i][k][x]=(f[0][i][k][x]+dp[0][0][i][l][x-1])%MOD;
		for(int j=1;j<=n;j++) for(int k=1;k<=n;k++) for(int l=1;l<=n;l++)
			if(ed[k][l]=='1') g[0][j][k][x]=(g[0][j][k][x]+dp[0][0][l][j][x-1])%MOD;
		for(int i=1;i<=n;i++) f[0][i][i][x]=(f[0][i][i][x]+1)%MOD;
		for(int i=1;i<=n;i++) g[0][i][i][x]=(g[0][i][i][x]+1)%MOD;
		for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) dp[0][0][i][j][x]=dp[0][0][i][j][x-1];
		for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) for(int k=1;k<=n;k++)
			dp[0][0][i][j][x]=(dp[0][0][i][j][x]+1ll*f[0][i][k][x]*g[0][j][k][x]%MOD)%MOD;
	}
}
int query(int s,int bs,int t,int bt){
	fill0(dp[1][0]);fill0(dp[0][1]);fill0(dp[1][1]);fill0(f[1]);fill0(g[1]);
	for(int x=1;x<=k;x++){
		for(int k=1;k<=n;k++) for(int l=1;l<=n;l++)
			if(ed[l][k]=='1') f[1][s][k][x]=(f[1][s][k][x]+dp[1][0][s][l][x-1])%MOD;
		for(int k=1;k<=n;k++) for(int l=1;l<=n;l++)
			if(ed[k][l]=='1') g[1][t][k][x]=(g[1][t][k][x]+dp[0][1][l][t][x-1])%MOD;
		if(x==bs) f[1][s][s][x]=(f[1][s][s][x]+1)%MOD;
		if(x==bt) g[1][t][t][x]=(g[1][t][t][x]+1)%MOD;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			dp[1][0][s][i][x]=dp[1][0][s][i][x-1];
			dp[0][1][i][t][x]=dp[0][1][i][t][x-1];
			for(int k=1;k<=n;k++){
				dp[1][0][s][i][x]=(dp[1][0][s][i][x]+1ll*f[1][s][k][x]*g[0][i][k][x]%MOD)%MOD;
				dp[0][1][i][t][x]=(dp[0][1][i][t][x]+1ll*f[0][i][k][x]*g[1][t][k][x]%MOD)%MOD;
			}
		}
		dp[1][1][s][t][x]=dp[1][1][s][t][x-1];
		for(int k=1;k<=n;k++){
			dp[1][1][s][t][x]=(dp[1][1][s][t][x]+1ll*f[1][s][k][x]*g[1][t][k][x]%MOD)%MOD;
		}
	}
	return dp[1][1][s][t][k];
}
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&k,&qu);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",ed[i]+1);
	prework();
	while(qu--){
		int s,bs,t,bt;scanf("%d%d%d%d",&bs,&s,&bt,&t);
		printf("%d\n",query(s,bs,t,bt));
	}
	return 0;
}
/*
6 3 8
010000
001000
000100
000010
000000
000001
1 1 1 1
3 3 1 1
1 1 3 3
1 1 1 5
2 1 1 5
1 1 2 5
3 1 3 5
2 6 2 6
*/