Solution -「营业」「CF 527C」Glass Carving

Description

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有一个块 \(n\times m\) 的矩形，有 \(q\) 次操作，每次把矩形横 / 竖着切一刀，问切完后的最大矩形面积。

Solution

一个不同于大多数人、总时间复杂度 \(\mathcal{O}(n\log_{2}n)\)，每次回答 \(\mathcal{O}(\alpha(n))\) 的做法，瓶颈在排序。

显然答案是最大行列相乘。首先我们把询问离线，然后逆序处理。你发现这相当于把切开变成了合并，最大值不降，于是可以直接维护。

具体来说就是维护两个并查集，分别是行和列，然后再维护集合内元素个数，然后就直接合并。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read() {
	ll x=0,f=0;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+(ch&15),ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
const int N=200100;
signed main() {
	int m=read(),n=read(),q=read();
	static int far[N],fac[N],szr[N],szc[N];
	iota(far+1,far+m+1,1);
	iota(fac+1,fac+n+1,1);
	for(int i=1;i<=m;++i) szr[i]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i) szc[i]=1;
	auto findr=[&](int x) {while(x!=far[x]) x=far[x]=far[far[x]]; return x;};
	auto findc=[&](int x) {while(x!=fac[x]) x=fac[x]=fac[fac[x]]; return x;};
	auto merger=[&](int x,int y) {x=findr(x),y=findr(y); (x!=y)&&(szr[y]+=szr[x],szr[x]=0,far[x]=y);};
	auto mergec=[&](int x,int y) {x=findc(x),y=findc(y); (x!=y)&&(szc[y]+=szc[x],szc[x]=0,fac[x]=y);};
	static int op[N],X[N];
	vector<int> hx,vx;
	for(int i=1; i<=q; ++i) {
		char Op[4];
		scanf("%s",Op);
		op[i]=Op[0]=='H';
		X[i]=read();
		(op[i])&&(X[i]=n-X[i]);
		(op[i])&&(hx.push_back(X[i]),1);
		(!op[i])&&(vx.push_back(X[i]),1);
	}
	sort(hx.begin(),hx.end());
	sort(vx.begin(),vx.end());
	hx.insert(hx.begin(),0);
	vx.insert(vx.begin(),0);
	hx.push_back(n);
	vx.push_back(m);
	for(unsigned int i=1; i<hx.size(); ++i)
		for(int j=hx[i-1]+2; j<=hx[i]; ++j) mergec(j-1,j);
	for(unsigned int i=1; i<vx.size(); ++i)
		for(int j=vx[i-1]+2; j<=vx[i]; ++j) merger(j-1,j);
	ll mxr=0,mxc=0;
	for(int i=1; i<=m; ++i) mxr=max(mxr,(ll)szr[findr(i)]);
	for(int i=1; i<=n; ++i) mxc=max(mxc,(ll)szc[findc(i)]);
	vector<ll> ans;
	ans.push_back(mxr*mxc);
	for(int i=q; i>1; --i) {
		if(op[i]) mergec(X[i]+1,X[i]),mxc=max(mxc,(ll)szc[findc(X[i])]);
		else merger(X[i],X[i]+1),mxr=max(mxr,(ll)szr[findr(X[i])]);
		ans.push_back(mxr*mxc);
	}
	reverse(ans.begin(),ans.end());
	for(ll x:ans) printf("%lld\n",x);
	return 0;
}