数列专题2 求数列的前n项和

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[ 【基础过关系列】高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019）]

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选择性第二册同步巩固，难度2颗星！

基础知识

求数列的前\(n\)项和\(S_n\)是数列中常考的一大专题，其方法有公式法、倒序相加(乘)法、分组求和法与裂项相消法等，在掌握这些方法的时候要注意方法的适用范围，其中的计算量有些大，技巧性也较强，需要多加以理解与总结.

基本方法

方法一 公式法

若已知数列是等差或等比数列，求其前\(n\)项和可直接使用对应的公式；若求和的式子对应某些公式，也可以直接使用.常见如下

(1) 等差数列求和公式 \(S_n=\dfrac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}=n a_1+\dfrac{n(n-1)}{2} d\)

(2) 等比数列求和公式 \(S_n=\left\{\begin{array}{l}
n a_1， q=1 \\
\dfrac{a_1\left(1-q^n\right)}{1-q}， q \neq 1
\end{array}\right.\)

(3) \(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\)

(4) \(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2\).

【典题1】 求和式\(3+6+12+⋯+3\cdot 2^{n-2}\).

解析 和式\(3+6+12+⋯+3\cdot 2^{n-2}\)相当于数列\(3\)、\(6\)、\(12\)、\(…\)、\(3\cdot 2^{n-2}\)的和，

显然它是首项\(a_1=3\)，公比\(q=2\)的等比数列，设前\(n\)项和为\(S_n\)，

故\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}=3\cdot 2^{n-1}\)，

而和式最后一项是\(3\cdot 2^{n-2}=a_{n-1}\)，是第\(n-1\)项，

故和式\(3+6+12+⋯+3\cdot 2^{n-2}\)只有\(n-1\)项而已，

则\(3+6+12+⋯+3\cdot 2^{n-2}\) (切勿想当然和式等于\(S_n\))

\(=S_{n-1}=\dfrac{a_1\left(1-q^{n-1}\right)}{1-q}=\dfrac{3\left(1-2^{n-1}\right)}{1-2}=3\left(2^{n-1}-1\right)\).

点拨 求和式时特别要注意确定项数，以第一个数为首项，判断最后一项为第几项(第\(n\)项、第\(n-1\)项？)便可.

巩固练习

1.求和式\(1+4+7+⋯+(3n+1)\).

2.已知\(\{a_n\}\)是等差数列，公差\(d≠0\)，\(a_1=1\)，且\(a_1\) ，\(a_3\) ，\(a_9\)成等比数列，求数列\(\left\{2^{a_n}\right\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)．

参考答案

1. 答案 \(\dfrac{3 n^2+5 n+2}{2}\)
   
   解析 \(1+4+7+⋯+(3n+1)=\dfrac{3 n^2+5 n+2}{2}\).

2. 答案 \(S_n=2^{n+1}-2\)
   
   解析 \(\because\)数列\(\{a_n\}\)是等差数列，公差\(d≠0\)，\(a_1=1\)，且\(a_1\) ，\(a_3\) ，\(a_9\)成等比数列，
   
   \(\therefore (1+2d)^2=1×(1+8d)\)，解得\(d=1\)或\(d=0\)(舍)，
   
   \(\therefore a_n=a_1+(n-1)d=n\)，
   
   \(\therefore 2^{a_n}=2^n\)，
   
   \(\therefore\)数列\(\left\{2^{a_n}\right\}\)是首项为\(2\)，公比为\(2\)的等比数列，
   
   \(\therefore S_n=\dfrac{2\left(1-2^n\right)}{1-2}=2^{n+1}-2\)．

方法二 倒序相加(乘)法

1 对于某个数列\(\{a_n\}\)，若满足\(a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=⋯=a_k+a_{n-k+1}\)，则求前\(n\)项和\(S_n\)可使用倒序相加法.

具体解法 设\(S_n=a_1+a_2+⋯+a_{n-1}+a_n\) ①

把①反序可得\(S_n=a_n +a_{n-1}+⋯+a_2+a_1\) ②

由①+②得 \(2 S_n=\left(a_1+a_n\right)+\left(a_2+a_{n-1}\right)+\cdots+\left(a_{n-1}+a_2\right)+\left(a_n+a_1\right)\)\(\Rightarrow S_n=\dfrac{\left(a_1+a_n\right) n}{2}\).

2 对于某个数列\(\{a_n\}\)，若满足\(a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=⋯=a_k+a_{n-k+1}\)，则求前\(n\)项积\(T_n\)可使用倒序相乘法.具体解法类同倒序相加法.

【典题1】 设 \(f(x)=\dfrac{1}{4^x+2}\)，利用课本中推导等差数列前\(n\)项和的公式的方法，可求得\(f(-3)+f(-2)+⋯+f(0)+⋯+f(3)+f(4)\)的值为\(\underline{\quad \quad}\)．

解析 设\(a+b=1\)，

则 \(f(a)+f(b)=\dfrac{1}{4^a+2}+\dfrac{1}{4^b+2}=\dfrac{4^b}{\left(4^a+2\right) 4^b}+\dfrac{1}{4^b+2}=\dfrac{4^b}{4+2 \cdot 4^b}+\dfrac{1}{4^b+2}\)\(=\dfrac{4^b+2}{2\left(4^b+2\right)}=\dfrac{1}{2}\)．

所以\(f(-3)+f(4)= \dfrac{1}{2}\)，\(f(-2)+f(3)= \dfrac{1}{2}\)，\(f(-1)+f(2)= \dfrac{1}{2}\)，\(f(0)+f(1)= \dfrac{1}{2}\)

\(f(-3)+f(-2)+⋯+f(0)+⋯+f(3)+f(4)=4× \dfrac{1}{2}=2\)．

点拨 课本中推导等差数列前\(n\)项和的公式的方法就是倒序相加法.

巩固练习

1.设等差数列\(\{a_n\}\)，公差为\(d\)，求证：\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和 \(S_n=\dfrac{\left(a_1+a_n\right) n}{2}\).

2.设函数 \(f(x)=\dfrac{x^2}{1+x^2}\)，求\(f(1)+f(2)+f\left(\dfrac{1}{2}\right)+f(3)+f\left(\dfrac{1}{3}\right)+f(4)+f\left(\dfrac{1}{4}\right)\)的值\(\underline{\quad \quad}\)．

参考答案

1. 证明 \(S_n=a_1+a_2+a_3+⋯+a_n\) ①
   
   倒序得：\(S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+⋯+a_1\) ②
   
   ①+②得：\(2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+⋯+(a_n+a_1)\)
   
   又\(\because a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2}=⋯=a_n+a_1\)
   
   \(\therefore 2 S_n=n\left(a_1+a_n\right) \Rightarrow S_n=\dfrac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}\).

2. 答案 \(\dfrac{7}{2}\)
   
   解析 \(\because\)函数 \(f(x)=\dfrac{x^2}{1+x^2}\)，
   
   \(\therefore f(x)+f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{x^2}{1+x^2}+\dfrac{\dfrac{1}{x^2}}{1+\dfrac{1}{x^2}}=\dfrac{x^2}{1+x^2}+\dfrac{1}{x^2+1}=1\)，
   
   \(\therefore f(1)+f(2)+f\left(\dfrac{1}{2}\right)+f(3)+f\left(\dfrac{1}{3}\right)+f(4)+f\left(\dfrac{1}{4}\right)\)\(=f(1)+1+1+1=\dfrac{1}{1+1}+3=\dfrac{7}{2}\)．

方法三 分组求和法

1 若数列\(\{c_n\}\)中通项公式\(c_n=a_n+b_n\)，可分成两个数列\(\{a_n\}\)，\(\{b_n\}\)之和，则数列\(\{c_n\}\)的前\(n\)项和等于两个数列\(\{a_n\}\)，\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和的和.

2 常见的是\(c_n=\)等差+等比的形式，

3 等比数列的通项公式形如\(a_n=kn+b\)，等差数列的通项公式形如\(a_n=A\cdot B^n\).

【典题1】 求数列\(\{3^n+2n-1\}\)的前\(n\)项和\(S_n\).

解析 设\(a_n=3^n+2n-1\)， (其中可知数列\(\{3^n\}\)是等比数列，数列\(\{2n-1\}\)是等差数列)

则\(S_n=a_1+a_2+a_3+⋯+a_n\)\(=(3^1+1)+(3^2+3)+(3^3+5)+⋯(3^n+2n-1)\)

(把等比项和等差项分别放在一组)

\(=(3^1+3^2+3^3+⋯+3^n )+(1+3+5+⋯+2n-1)\) (确定好首项和公差、公比)

\(=\dfrac{3\left(1-3^n\right)}{1-3}+\dfrac{(1+2 n-1) n}{2}\)

\(=\dfrac{3^{n+1}}{2}+n^2-\dfrac{3}{2}\).

【典题2】 已知在等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_3+a_5=10\)．

(1)设 \(b_n=2^{a_n}\)，求证：数列\(\{b_n\}\)是等比数列；(2)求数列\(\{a_n+b_n\}\)的前\(n\)项和．

解析 (1)设公差为\(d\)的等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_3+a_5=10\)．

整理得 \(\left\{\begin{array}{c}
a_1=2 \\
2 a_1+6 d=10
\end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l}
a_1=2 \\
d=1
\end{array}\right.\)，

所以\(a_n=a_1+(n-1)=n+1\)．

由于 \(b_n=2^{a_n}\)，所以\(b_n=2^{n+1}\)，\(b_{n-1}=2^n\)，

整理得 \(\dfrac{b_n}{b_{n-1}}=2\)(常数)，

所以数列\(\{b_n\}\)是以\(b_1=2^2=4\)为首项，\(2\)为公比的等比数列．

(2)由于数列\(\{b_n\}\)是以\(b_1=2^2=4\)为首项，\(2\)为公比的等比数列，

所以\(b_n=4×2^{n-1}=2^{n+1}\)．

所以\(a_n+b_n=2^{n+1}+n+1\)，

故\(S_n=\dfrac{4\left(2^n-1\right)}{2-1}+\dfrac{n(2+n+1)}{2}=2^{n+2}+\dfrac{n(n+3)}{2}-4\)．

巩固练习

1.已知数列\(\{a_n\}\)的通项\(a_n=2^n+n\)，若数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，则\(S_8=\) \(\underline{\quad \quad}\)．

2.已知数列\(\{a_n\}\)是等比数列，公比为\(q\)，数列\(\{b_n\}\)是等差数列，公差为\(d\)，且满足：\(a_1=b_1=1\)，\(b_2+b_3=4a_2\)，\(a_3－3b_2=-5\)．

  (1)求数列\(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)的通项公式；

  (2)设\(c_n=a_n+b_n\)，求数列\(\{c_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)．

参考答案

1. 答案 \(546\)
   
   解析 数列\(\{a_n\}\)的通项\(a_n=2^n+n\)，
   
   若数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，
   
   则 \(S_n=\left(2^1+2^2+\cdots+2^n\right)+(1+2+\cdots+n)=\dfrac{2\left(2^n-1\right)}{2-1}+\dfrac{n(n+1)}{2}\)\(=2\left(2^n-1\right)+\dfrac{n(n+1)}{2}\)．
   
   则\(S_8=2\left(2^8-1\right)+\dfrac{8 \times 9}{2}=546\) .

2. 答案 (1) \(a_n=2^{n-1}\)，\(b_n=2n－1\) ；(2) \(2^n+n^2-1\)
   
   解析 (1)设等比数列\(\{a_n\}\)的公比为\(q\)，等差数列\(\{b_n\}\)的公差为\(d\)，
   
   由题意知\(q>0\)，
   
   由已知，有 \(\left\{\begin{array}{l}
   (1+d)+(1+2 d)=4 q \\
   q^2-3(1+d)=-5
   \end{array}\right.\)，
   
   即 \(\left\{\begin{array}{l}
   -4 q+3 d=-2 \\
   q^2-3 d=-2
   \end{array}\right.\)，解得\(q=d=2\)．
   
   \(\therefore \{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=2^{n-1}\)，\(\{b_n\}\)的通项公式为\(b_n=2n－1\)；
   
   (2)由(1)知，\(c_n=a_n+b_n=2^{n-1}+2n－1\)，
   
   则\(S_n=(1+2^1+2^2+⋯+2^{n-1})+[1+3+5+⋯+(2n-1)]\)
   
   \(=\dfrac{1 \times\left(1-2^n\right)}{1-2}+\dfrac{n(1+2 n-1)}{2}=2^n+n^2-1\)．

方法四 错位相减法

当数列\(\{a_n\}\) 的通项公式\(a_n=b_n⋅ c_n\) ，其中\(\{b_n\}\)为等差数列，\(\{c_n\}\)为等比数列.

举例：

【典题1】 已知递增的等比数列\(\{a_n\}\)满足\(a_2+a_3+a_4=28\)，且\(a_3+2\)是\(a_2\) ，\(a_4\)的等差中项．

(1)求数列\(\{a_n\}\)的通项公式\(a_n\)；

(2)令\(b_n=a_n⋅\log _{\dfrac{1}{2}} a_n\)，\(S_n=b_1+b_2+⋯+b_n\)，求\(S_n\)．

解析 (1)设数列\(\{a_n\}\)的公比为\(q\)，

由题意可知\(\left\{\begin{array}{l}
a_2+a_3+a_4=28 \\
2\left(a_3+2\right)=a_2+a_4
\end{array}\right.\)，

即\(\left\{\begin{array} { l }
{ a _ { 3 } = 8 } \\
{ a _ { 2 } + a _ { 4 } = 2 0 }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
a_1 q^2=8 \\
a_1 q+a_1 q^3=20
\end{array}\right.\right.\)，

解得 \(\left\{\begin{array}{l}
a_1=2 \\
q=2
\end{array}\right.\)或 \(\left\{\begin{array}{l}
a_1=32 \\
q=\dfrac{1}{2}
\end{array}\right.\)(舍)

\(\therefore a_n=2⋅2^{n-1}=2^n\).

(2)\(b_n=a_n\cdot \log _{\dfrac{1}{2}} a_n=2^n\cdot \log _{\dfrac{1}{2}} 2^n=-n⋅2^n\)，

(其中\(\{n\}\)是等差数列，\(\{2^n\}\)是等比数列，可用错位相减法)

\(\therefore S_n=-1×2-2×2^2-3×2^3-⋯-{n-1}×2^{n-1}-n×2^n\) (1)

\(2S_n=\) \(-1×2^2-2×2^3-3×2^4-⋯-{n-1}×2^n-n×2^{n+1}\) (2)

\(\therefore (1)-(2)\)得

\(-S_n=-\left(2+2^2+2^3+\cdots 2^n\right)+n \times 2^{n+1}\)\(=-\dfrac{2-2^{n+1}}{1-2}+n \times 2^{n+1}=(n-1) \times 2^{n+1}+2\)

\(\therefore S_n=(1-n)×2^{n+1}-2\)． (最后可用\(S_2\)检验运算结果是否正确)

巩固练习

1.设等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且\(S_4=4S_2\)，\(a_{2n}=2a_n+1\)．

  (1)求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；

  (2)设数列\(\{b_n\}\)满足 \(b_n=\dfrac{2\left(a_n-1\right)}{4^n}\)，求数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和\(R_n\)．

2.已知正项数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，满足\(a_n^2+a_n－2S_n=0(n∈N^*)\)．

  (1)求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；

  (2)记数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和为\(T_n\)，若\(b_n=(2a_n-7) 2^n\)，求\(T_n\)；

  (3)求数列\(\{T_n\}\)的最小项．

参考答案

1. 答案 (1)\(a_n=2n-1\); (2) \(R_n=\dfrac{1}{9}\left(4-\dfrac{3 n+1}{4^{n-1}}\right)\).
   
   解析 (1)设等差数列\(\{a_n\}\)的首项为\(a_1\)，公差为\(d\)，
   
   由\(S_4=4S_2\)，\(a_{2n}=2a_n+1\)得\(\left\{\begin{array}{l}
   4 a_1+6 d=8 a_1+4 d \\
   a_1+(2 n-1) d=2 a_1+2(n-1) d+1
   \end{array}\right.\)，
   
   解得\(a_1=1\)，\(d=2\)．
   
   因此\(a_n=2n-1(n∈N^*)\)．
   
   (2)由题意知： \(b_n=\dfrac{2 a_n-2}{4^n}=(n-1)\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}\)，
   
   所以 \(R_n=0 \times\left(\dfrac{1}{4}\right)^0+1 \times\left(\dfrac{1}{4}\right)^1+2 \times\left(\dfrac{1}{4}\right)^2+3 \times\left(\dfrac{1}{4}\right)^3+\cdots+(n-1) \times\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}\)，
   
   \(\dfrac{1}{4} R_n=0 \times\left(\dfrac{1}{4}\right)^1+1 \times\left(\dfrac{1}{4}\right)^2+2 \times\left(\dfrac{1}{4}\right)^3+\cdots+(n-2) \times\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}+(n-1) \times\left(\dfrac{1}{4}\right)^n\)
   
   两式相减得 \(\dfrac{3}{4} R_n=\dfrac{1}{4}+\left(\dfrac{1}{4}\right)^2+\cdots+\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}-(n-1)\left(\dfrac{1}{4}\right)^n=\dfrac{\dfrac{1}{4}-\left(\dfrac{1}{4}\right)^n}{1-\dfrac{1}{4}}-(n-1)\left(\dfrac{1}{4}\right)^n\)
   
   整理得\(R_n=\dfrac{1}{9}\left(4-\dfrac{3 n+1}{4^{n-1}}\right)\)，
   
   所以数列\(\{c_n\}\)的前\(n\)项和\(R_n=\dfrac{1}{9}\left(4-\dfrac{3 n+1}{4^{n-1}}\right)\)．

2. 答案 (1)\(a_n=n\)；(2)\(T_n=(2n-9)⋅2^{n+1}+18\)；(3) \(-30\).
   
   解析 (1)由\(a_n^2+a_n-2S_n=0\)，得到：\(a_{n+1}^2+a_{n+1}-2S_{n+1}=0\)，
   
   两式相减得：\((a_{n+1}^2-a_n^2)+(a_{n+1}-a_n)-2(S_{n+1}-S_n)=0\)，
   
   整理得：\((a_{n+1}+a_n)(a_{n+1}-a_n-1)=0\)，
   
   由于数列\(\{a_n\}\)是正项数列，
   
   所以\(a_{n+1}-a_n=1\)(常数)，
   
   当\(n=1\)时，解得\(a_1=1\)．
   
   故\(a_n=1+n-1=n\)．
   
   (2)由(1)得：\(b_n=(2n-7)⋅2^n\)，
   
   所以：\(T_n=(-5)⋅2^1+(-3)⋅2^2+(-1)⋅2^3+⋯+(2n-7)⋅2^n\)①，
   
   \(2T_n=(-5)⋅2^2+(-3)⋅2^3+(-1)⋅2^3+⋯+(2n-7)⋅2^{n+1}\)②，
   
   ①－②得：\(-T_n=(-5)×2+2^3+2^4+⋯+2^{n+1}-(2n-7)⋅2^{n+1}\)，
   
   解得：\(T_n=(2n-9)⋅2^{n+1}+18\)．
   
   (3)\(T_{n+1}-T_n=(2n-7)⋅2^{n+2}+18-(2n-9)⋅2^{n+1}-18=(2n-5)⋅2^{n+1}\)，
   
   当\(n≤2\)时，\(T_{n+1}<T_n\)，
   
   当\(n≥3\)时，\(T_{n+1}>T_n\)，
   
   故：\(T_1>T_2>T_3<T_4<T_5<⋯\)，
   
   故数列\(\{T_n\}\)的最小值为\(T_3=-30\)．

方法五 裂项相消法

常见裂项公式

(1) \(\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\)，\(\dfrac{1}{n(n+k)}=\dfrac{1}{k}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+k}\right)\)；

(2) \(\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)，\(\dfrac{1}{\sqrt{n+k}+\sqrt{n}}=\dfrac{1}{k}(\sqrt{n+k}-\sqrt{n})\).

【典题1】 设等差数列\(\{a_n\}\)满足\(a_2=5\)，\(a_6+a_8=30\)，则数列\(\left\{\dfrac{4}{a_n^2-1}\right\}\)的前\(n\)项的和等于\(\underline{\quad \quad}\)．

解析 \(\because a_6+a_8=30\)， \(\therefore a_7=15\)，

又\(\because a_2=5\)， \(\therefore d=\dfrac{15-5}{7-2}=2\)，

\(\therefore a_n=a_2+{n-2}d=2n+1\)，

\(\therefore a_n^2=(2n+1)^2=4n^2+4n+1\)，

\(\therefore \dfrac{4}{a_n^2-1}=\dfrac{4}{4 n^2+4 n}=\dfrac{1}{n^2+n}=\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\) (因式分解裂项是关键)

\(\therefore\) 数列 \(\left\{\dfrac{4}{a_n^2-1}\right\}\)的前\(n\)项的和为 \(\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)=1-\dfrac{1}{n+1}\).

点拨 本题是用了常见的裂项公式 \(\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\)， \(\dfrac{1}{n(n+k)}=\dfrac{1}{k}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+k}\right)\)，

思考下以下各项怎么裂项： \(a_n=\dfrac{1}{n^2-n}(n \geq 2)\)， \(a_n=\dfrac{1}{2 n^2+4 n}\)， \(a_n=\dfrac{1}{n^2+3 n}\).

【典题2】 已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且满足\(a_1=2\)，\(S_n=a_{n+1}-2^{n+2}+2\) ，\(n∈N^*\)．

  (1)求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；

  (2)设 \(b_n=\dfrac{2^n}{a_n}\)，记数列\(\{b_n b_{n+1}\}\)的前\(n\)项和为\(T_n\)，证明：\(\dfrac{1}{2}≤T_n<1\)．

解析 (1)解：由题意，当\(n=1\)时，\(a_1=S_1=a_2－2^3+2\)，

即\(a_2－6=2\)，解得\(a_2=8\)，

当\(n≥2\)时，由\(S_n=a_{n+1}－2^{n+2}+2\)，可得：\(S_{n-1}=a_n－2^{n+1}+2\)，

两式相减，可得：\(a_n=a_{n+1}－a_n－2^{n+2}－2^{n+1}\)，

整理，得\(a_{n+1}－2a_n=2^{n+1}\)，

两边同时乘以\(\dfrac{1}{2^{n+1} }\)，可得\(\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\dfrac{a_n}{2^n}=1\)，\((n≥2)\)

\(\because \dfrac{a_ 1}{2^1 }=1\)， \(\therefore\)数列\(\left\{\dfrac{a_n}{2^n}\right\}\)是以\(1\)为首项，\(1\)为公差的等差数列，

\(\therefore \dfrac{a_n}{2^n}=1+1 \times(n-1)=n\)，\(\therefore a_n=n2^n\)，\(n∈N^*\)．

(2)证明：由(1)知，\(b_n=\dfrac{2^n}{a_n}=\dfrac{2^n}{n \cdot 2^n}=\dfrac{1}{n}\) ，

则\(b_n b_{n+1}=\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\)，

\(\therefore T_n=b_1 b_2+b_2 b_3+\cdots+b_n b_{n+1}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=1-\dfrac{1}{n+1}\)，

\(\because n∈N^*\)， \(\therefore 0<\dfrac{1}{n+1} \leq \dfrac{1}{2}\)，

\(\therefore \dfrac{1}{2} \leq 1-\dfrac{1}{n+1}<1\)，即\(\dfrac{1}{2}≤T_n<1\)．

巩固练习

1.已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)， \(a_{n+1}=\dfrac{a_n}{a_n+1}\)．

  (1)证明：数列\(\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}\)是等差数列，并求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；

  (2)设 \(b_n=\dfrac{a_n}{n+2}\)，求数列\(\{b_n\}\)前\(n\)项和\(S_n\)．

2.已知正项数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，\(4S_n=a_n^2+4n-1\)，\(a_1=1\)．

  (1)求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；

  (2)设\(\{a_n\}\)是递增数列，\(b_n=\dfrac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}\)，\(T_n\)为数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和，若\(T_n \leq \dfrac{m}{6}\)恒成立，求实数\(m\)的取值范围．

参考答案

1. 答案 (1)\(a_n=\dfrac{1}{n}\)； (2) \(S_n=\dfrac{3}{4}-\dfrac{2 n+3}{2(n+1)(n+2)}\)
   
   解析 (1)证明：由 \(a_{n+1}=\dfrac{a_n}{a_n+1}\)，得 \(\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{a_n+1}{a_n}-\dfrac{1}{a_n}=1\)，
   
   再由\(a_1=1\)，得 \(\dfrac{1}{a_1}=1\)，
   
   \(\therefore\)数列\(\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}\)是首项为\(1\)，公差为\(1\)的等差数列，
   
   \(\therefore \dfrac{1}{a_n}=1+(n-1) \times 1=n\)，则\(a_n=\dfrac{1}{n}\)；
   
   (2)解：由 \(b_n=\dfrac{a_n}{n+2}\)，得 \(b_n=\dfrac{1}{n(n+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}\right)\)，
   
   \(\therefore\) 数列\(\{b_n\}\)前\(n\)项和 \(S_n=\dfrac{1}{2}\left[\left(1-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}\right)+\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}\right)\right]\)
   
   \(=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}\right)=\dfrac{3}{4}-\dfrac{2 n+3}{2(n+1)(n+2)}\)．

2. 答案 (1) \(a_n=2n-1\)或\(a_n=1\)； (2) \([3，+∞)\)．
   
   解析 (1)\(n≥2\)时，\(4a_n=4S_n-4S_{n-1}=a_n^2+4n-1-[a_{n-1}^2+4{n-1}-1]\)，
   
   化为：\((a_n-2)^2=a_{n-1}^2\)，\(a_n>0\)．
   
   \(\therefore a_n-a_{n-1}=2\)，或\(a_n+a_{n-1}=2\)，
   
   \(a_n-a_{n-1}=2\)时，数列\(\{a_n\}\)是等差数列，\(a_n=1+2(n-1)=2n-1\)．
   
   \(a_n+a_{n-1}=2\)时，\(\because a_1=1\)，可得\(a_n=1\)．
   
   (2) \(\{a_n\}\)是递增数列，\(\therefore a_n=2n-1\)．
   
   \(b_n=\dfrac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}=\dfrac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2 n-1}-\dfrac{1}{2 n+1}\right)\)，
   
   数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和 \(T_n=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\cdots \cdots+\dfrac{1}{2 n-1}-\dfrac{1}{2 n+1}\right)=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{2 n+1}\right)<\dfrac{1}{2}\)，
   
   \(\because T_n \leq \dfrac{m}{6}\)恒成立， \(\therefore \dfrac{1}{2} \leq \dfrac{m}{6}\)，解得\(m≥3\)．
   
   \(\therefore\)实数\(m\)的取值范围是\([3，+∞)\)．

分层练习

【A组---基础题】

1.数列\(1 \dfrac{1}{2}\)，\(2 \dfrac{1}{4}\)， \(3 \dfrac{1}{8}\)，…，\(n+ \dfrac{1}{2^n}\) 的前\(n\)项和为\(S_n=\)(　　)

 A． \(\dfrac{n^2-1}{n}\) \(\qquad \qquad\) B． \(\dfrac{n(n+1)}{2}+2^n\) \(\qquad \qquad\) C． \(\dfrac{n(n+1)}{2}-\dfrac{1}{2^n}+1\)\(\qquad \qquad\) D． \(\dfrac{n}{2^n}-1\)

2.设 \(f(x)=\dfrac{1}{9^x+3}\)，利用课本中推导等差数列前\(n\)项和的公式的方法，可求得\(f(-3)+f(-2)+⋯+f(0)+⋯+f(3)+f(4)\)的值为\(\underline{\quad \quad}\)．

3.数列\(\{a_n\}\)满足 \(a_n=\dfrac{1}{(2 n+1)(2 n+3)}\) ，\(n∈N^*\)，其前\(n\)项和为\(S_n\)．若\(S_n<M\)恒成立，则\(M\)的最小值为\(\underline{\quad \quad}\)．

4.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，公差\(d>0\)，\(a_1\)，\(a_5\)为方程\(x^2-10x+9=0\)的两根．

  (1)求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；

  (2)设\(b_n=a_n+ \dfrac{1}{2^n}\)，求数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和\(T_n\)．

5.已知正项数列\(\left\{a_n\right\}\)满足 \(a_1=\sqrt{2}\)， \(a_{n+1}^2-a_n^2=2(n+1)\)．

  (1)求数列\(\left\{a_n\right\}\)的通项公式；

  (2)若数列\(\left\{b_n\right\}\)满足\(b_1=3\)， \(b_n=3 b_{n-1}+3^n(n \geq 2)\)，求数列 \(\left\{\dfrac{a_n^2}{b_n}\right\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)．

6.已知公差不为0的等差数列\(\{a_n\}\)的前\(9\)项和\(S_9=45\)，且第\(2\)项、第\(4\)项、第\(8\)项成等比数列．

  (1)求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；

  (2)若数列\(\{b_n\}\)满足 \(b_n=a_n+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\)，求数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和\(T_n\)．

7.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且\(S_2=8\)，\(S_9=11a_4\)．

  (1)求\(a_n\)；

  (2)设数列\(\left\{\dfrac{1}{S_n}\right\}\)的前\(n\)项和为\(T_n\)，求证：\(T_n<\dfrac{3}{4}\)．

8.已知数列列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且满足\(2S_n=3a_n－3\)．

  (1)证明数列\(\{a_n\}\)是等比数列；

  (2)若数列\(\{b_n\}\)满足 \(b_n=\log _3 a_n\)，记数列 \(\left\{\dfrac{b_n}{a_n}\right\}\)的前\(n\)项和为\(T_n\)，证明： \(\dfrac{1}{3}<T_n<\dfrac{3}{4}\)．

9.设函数\(f(x)=\dfrac{2^x}{2^x+\sqrt{2}}\)的图象上两点\(P_1 (x_1 ，y_1)\)、\(P_2 (x_2 ，y_2)\)，若\(\overrightarrow{O P}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{O P_1}+\overrightarrow{O P_2}\right)\)，且点\(P\)的横坐标为\(\dfrac{1}{2}\)．

  (1)求证：\(P\)点的纵坐标为定值，并求出这个定值；

  (2)求\(S_n=f\left(\dfrac{1}{n}\right)+f\left(\dfrac{2}{n}\right)+\cdots+f\left(\dfrac{n-1}{n}\right)+f\left(\dfrac{n}{n}\right)\).

参考答案

1. 答案 \(C\)
   
   解析 数列\(1 \dfrac{1}{2}\)，\(2 \dfrac{1}{4}\)， \(3 \dfrac{1}{8}\)，…，\(n+ \dfrac{1}{2^n}\) 的前\(n\)项和为
   
   \(S_n=(1+2+3+\cdots+n)+\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\cdots+\dfrac{1}{2^n}\right)\)\(=\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)}{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{n(n+1)}{2}-\dfrac{1}{2^n}+1\)．
   
   故选：\(C\)．

2. 答案 \(\dfrac{4}{3}\)
   
   解析 设\(a+b=1\)，
   
   则 \(f(a)+f(b)=\dfrac{1}{9^a+3}+\dfrac{1}{9^b+3}=\dfrac{1}{9^{1-b}+3}+\dfrac{1}{9^b+3}\)\(=\dfrac{9^b}{3\left(9^b+3\right)}+\dfrac{1}{9^b+3}=\dfrac{9^b+3}{3\left(9^b+3\right)}=\dfrac{1}{3}\) ，
   
   所以\(f(-3)+f(4)= \dfrac{1}{3}\)，\(f(-2)+f(3)= \dfrac{1}{3}\)，\(f(-1)+f(2)= \dfrac{1}{3}\)，\(f(0)+f(1)= \dfrac{1}{2}\)，
   
   \(f(-3)+f(-2)+⋯+f(0)+⋯+f(3)+f(4)=4× \dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}\)．

3. 答案 \(\dfrac{1}{6}\)
   
   解析 \(a_n=\dfrac{1}{(2 n+1)(2 n+3)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2 n+1}-\dfrac{1}{2 n+3}\right)\)，
   
   可得其前\(n\)项和 \(S_n=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\cdots+\dfrac{1}{2 n+1}-\dfrac{1}{2 n+3}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2 n+3}\right)\)，
   
   由\(\dfrac{1}{2 n+3}>0\)，可得 \(S_n<\dfrac{1}{6}\)，
   
   \(S_n<M\)恒成立，可得 \(M \geq \dfrac{1}{6}\)，即\(M\)的最小值为 \(\dfrac{1}{6}\)．

4. 答案 (1)\(a_n=2n-1\)；(2)\(T_n=n^2+1- \dfrac{1}{2^n}\) .
   
   解析 等差数列\(\{a_n\}\)中，公差\(d>0\)，\(a_1\)，\(a_5\)为方程\(x^2-10x+9=0\)的两根．
   
   所以\(a_1+a_5=10\)，\(a_1 a_5=9\)，解得\(a_1=1\)，\(a_5=9\)．
   
   所以\(d=\dfrac{9-1}{5-1}=2\)．
   
   故\(a_n=a_1+2(n-1)=2n-1\)．
   
   (2)由于\(a_n=2n-1\)，
   
   所以\(b_n=2 n-1+\dfrac{1}{2^n}\)，
   
   所以\(T_n=(1+3+\cdots+2 n-1)+\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{2^n}\right)\)\(=\dfrac{n(1+2 n-1)}{2}+\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)}{1-\dfrac{1}{2}}=n^2+1-\dfrac{1}{2^n}\)．

5. 答案 (1) \(a_n=\sqrt{n^2+n}\)；(2) \(S_n=\dfrac{5}{4}-\dfrac{2 n+5}{4} \cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\).
   
   解析 (1)由 \(a_1=\sqrt{2}\)， \(a_{n+1}^2-a_n^2=2(n+1)\)，
   
   可得 \(a_n^2=a_1^2+\left(a_2^2-a_1^2\right)+\left(a_3^2-a_2^2\right)+\ldots+\left(a_n^2-a_{n-1}^2\right)\)
   
   \(=2+4+6+\ldots+2 n=\dfrac{1}{2} n(2+2 n)=n^2+n\)，
   
   又 \(乙 a_n=0\)，所以 \(a_n=\sqrt{n^2+n}\)；
   
   (2)\(b_1=3\)， \(b_n=3 b_{n-1}+3^n(n \geq 2)\)，
   
   可得 \(\dfrac{b_n}{3^n}=\dfrac{b_{n-1}}{3^{n-1}}+1(n \geq 2)\)，
   
   则\(\left\{\dfrac{b_n}{3^n}\right\}\)是以 \(\dfrac{b_1}{3}=1\)为首项，公差为\(1\)的等差数列，
   
   则\(\dfrac{b_n}{3^n}=n\)，即为\(b_n=n\cdot 3^n\)，
   
   令\(c_n=\dfrac{a_n^2}{b_n}\)，则 \(c_n=\dfrac{n+1}{3^n}\) ，
   
   所以\(S_n=\dfrac{2}{3^1}+\dfrac{3}{3^2}+\cdots+\dfrac{n+1}{3^n}\) ，
   
   \(\dfrac{1}{3} S_n=\dfrac{2}{3^2}+\dfrac{3}{3^3}+\cdots+\dfrac{n+1}{3^{n+1}}\)，
   
   两式相减可得\(\dfrac{2}{3} S_n=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{3^n}-\dfrac{n+1}{3^{n+1}}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{\dfrac{1}{3}\left(1-\dfrac{1}{3^n}\right)}{1-\dfrac{1}{3}}-\dfrac{n+1}{3^{n+1}}\)，
   
   化为\(S_n=\dfrac{5}{4}-\dfrac{2 n+5}{4} \cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\)．

6. 答案 (1)\(a_n=n\) (2) \(T_n=\dfrac{n^2+n+4}{2}-\dfrac{1}{2^{n-1}}\)
   
   解析 (1)设公差为\(d\)，且\(d≠0\)的等差数列\(\{a_n\}\)的前\(9\)项和\(S_9=45\)，
   
   且第\(2\)项、第\(4\)项、第\(8\)项成等比数列．
   
   所以\(\left\{\begin{array}{c}
   S_9=45 \\
   a_4^2=a_2 a_8
   \end{array}\right.\)，
   
   整理得\(\left\{\begin{array}{c}
   9 a_1+36 d=45 \\
   \left(a_1+3 d\right)^2=\left(a_1+d\right)\left(a_1+7 d\right)
   \end{array}\right.\)，解得\(a_1=d=1\)，
   
   故\(a_n=n\)．
   
   (2)由(1)得：数列\(\{b_n\}\)满足\(b_n=a_n+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=n+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\)，
   
   所以\(T_n=(1+2+\ldots+n)+\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\ldots+\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)=\dfrac{n^2+n+4}{2}-\dfrac{1}{2^{n-1}}\)．

7. 答案 (1)\(a_n=2n+1\)；(2) 略 .
   
   解析 (1)设公差为\(d\)，由\(S_2=8\)，\(S_9=11a_4\)，
   
   得\(\left\{\begin{array}{l}
   2 a_1+d=8 \\
   9 a_1+36 d=11 a_1+33 a
   \end{array}\right.\)，解得\(a_1=3\)，\(d=2\)．
   
   \(\therefore a_n=3+2(n-1)=2n+1\)；
   
   证明：(2)由(1)，\(a_n=2n+1\)，则有\(S_n=\dfrac{n}{2}(3+2 n+1)=n^2+2 n\)．
   
   则\(\dfrac{1}{S_n}=\dfrac{1}{n(n+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}\right)\)．
   
   \(\therefore T_n=\dfrac{1}{2}\left[\left(1-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)+\ldots+\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}\right)+\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}\right)\right]\)
   
   \(=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}\right)<\dfrac{3}{4}\)．

8. 答案 (1) 略；(2) 略 .
   
   解析 (1)因为\(2S_n=3a_n-3\)，所以 \(2 S_{n-1}=3 a_{n-1}-3\)，
   
   两式相减得，\(2a_n=3a_n-3a_{n-1} (n≥2)\)，即\(a_n=3a_{n-1} (n≥2)\)，
   
   在\(2S_n=3a_n-3\)中，令\(n=1\)，则\(2a_1=2S_1=3a_1-3\)，解得\(a_1=3≠0\)，
   
   故数列\(\{a_n\}\)是以\(3\)为首项，\(3\)为公比的等比数列．
   
   (2)由(1)可知\(a_n=3^n\)．
   
   所以 \(b_n=\log _3 a_n=\log _3 3^n=n\)，所以 \(\dfrac{b_n}{a_n}=\dfrac{n}{3^n}\)．
   
   所以 \(T_n=\dfrac{1}{3^1}+\dfrac{2}{3^2}+\dfrac{3}{3^3}+\cdots \cdots+\dfrac{n-1}{3^{n-1}}+\dfrac{n}{3^n}\)，
   
   \(\dfrac{1}{3} T_n=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{2}{3^3}+\dfrac{3}{3^4}+\cdots \cdots+\dfrac{n-1}{3^n}+\dfrac{n}{3^{n+1}}\) ，
   
   两式相减得， \(\dfrac{2}{3} T_n=\dfrac{1}{3^1}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+\cdots \cdots+\dfrac{1}{3^n}-\dfrac{n}{3^{n+1}}\)\(=\dfrac{\dfrac{1}{3}\left[1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\right]}{1-\dfrac{1}{3}}-\dfrac{n}{3^{n+1}}=\dfrac{3^{n+1}-2 n-3}{2 \cdot 3^{n+1}}\)，
   
   所以 \(T_n=\dfrac{3^{n+1}-2 n-3}{4 \cdot 3^n}=\dfrac{3}{4}-\dfrac{2 n+3}{4} \cdot \dfrac{1}{3^n}<\dfrac{3}{4}\)，
   
   当\(n≥2\)时， \(T_n-T_{n-1}=\dfrac{b_n}{a_n}=\dfrac{n}{3^n}>0\)，
   
   故数列\(\left\{T_n\right\}\)为递增数列， \(T_n>T_1=\dfrac{1}{3}\)．
   
   综上所述，\(\dfrac{1}{3}<T_n<\dfrac{3}{4}\)．

9. 答案 (1) \(\dfrac{1}{2}\)；(2) \(S_n=\dfrac{n+3-2 \sqrt{2}}{2}\) .
   
   解析 (1)证： \(\because \overrightarrow{O P}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{O P_1}+\overrightarrow{O P_2}\right)\)，
   
   \(\therefore P\)是\(P_1 P_2\)的中点\(⇒x_1+x_2=1\)
   
   \(\therefore y_1+y_2=f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)=\dfrac{2^{x_1}}{2^{x_1}+\sqrt{2}}+\dfrac{2^{x_2}}{2^{x_2}+\sqrt{2}}=\dfrac{2^{x_1}}{2^{x_1}+\sqrt{2}}+\dfrac{2^{1-x_1}}{2^{1-x_1}+\sqrt{2}}\)
   
   \(=\dfrac{2^{x_1}}{2^{x_1}+\sqrt{2}}+\dfrac{2}{\sqrt{2} \cdot 2^{x_1}+2}=1\)．
   
   \(\therefore y_p=\dfrac{1}{2}\left(y_1+y_2\right)=\dfrac{1}{2}\)．
   
   (2)解：由(1)知\(x_1+x_2=1\)，\(f (x_1)+f (x_2)=y_1+y_2=1\)， \(f(1)=2-\sqrt{2}\)，
   
   由 \(S_n=f\left(\dfrac{1}{n}\right)+f\left(\dfrac{2}{n}\right)+\cdots+f\left(\dfrac{n-1}{n}\right)+f\left(\dfrac{n}{n}\right)\)，
   
   \(S_n=f\left(\dfrac{n}{n}\right)+f\left(\dfrac{n-1}{n}\right)+\cdots+f\left(\dfrac{2}{n}\right)+f\left(\dfrac{1}{n}\right)\)，
   
   相加得
   
   \(2 S_n=f(1)+\left[f\left(\dfrac{1}{n}\right)+f\left(\dfrac{n-1}{n}\right)\right]+\left[f\left(\dfrac{2}{n}\right)+f\left(\dfrac{n-2}{n}\right)\right]+\)\(\cdots+\left[f\left(\dfrac{n-1}{n}\right)+f\left(\dfrac{1}{n}\right)\right]+f(1)=2 f(1)+n-1=n+3-2 \sqrt{2}\)，
   
   \(\therefore S_n=\dfrac{n+3-2 \sqrt{2}}{2}\)．

【B组---提高题 】

1.求 \(\sin ^2 1^{\circ}+\sin ^2 2^{\circ}+\sin ^2 3^{\circ}+\cdots+\sin ^2 88^{\circ}+\sin ^2 89^{\circ}\)的值.

2.已知数列\(\{a_n\}\)满足：\((n+1) a_{n+1}-(n+2) a_n=(n+1)(n+2)(n∈N^*)\)且\(a_1=4\)，数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)满足：\(S_n=2b_n-1(n∈N^*)\).

  (1)证明数列 \(\left\{\dfrac{a_n}{n+1}\right\}\)为等差数列，并求数列\(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)的通项公式；

  (2)若 \(c_n=\left(\sqrt{a_n}-1\right) b_{n+1}\)，数列\(\{c_n\}\)的前\(n\)项和为\(T_n\)，对任意的\(n∈N^*\)，\(T_n≤nS_{n+1}-m-2\)恒成立，求实数\(m\)的取值范围．

3.已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_n≠0\)，\(a_1= \dfrac{1}{3}\)，\(a_{n-1}-a_n=2a_n a_{n-1} (n≥2 ，n∈N^*)\)．

  (1)求证：\(\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}\)是等差数列；\(\qquad \qquad\) (2)证明：\(a_1^2+a_2^2+⋯+a_n^2< \dfrac{1}{4}\)．

参考答案

1. 答案 \(44.5\)
   
   解析 设 \(S=\sin ^2 1^{\circ}+\sin ^2 2^{\circ}+\sin ^2 3^{\circ}+\cdots+\sin ^2 88^{\circ}+\sin ^2 89^{\circ}\)………… ①
   
   将①式右边反序得
   
   \(S=\sin ^2 89^{\circ}+\sin ^2 88^{\circ}+\cdots+\sin ^2 3^{\circ}+\sin ^2 2^{\circ}+\sin ^2 1^{\circ}\)…………②
   
   ①+②得
   
   \(2 S=\left(\sin ^2 1^{\circ}+\sin ^2 89^{\circ}\right)+\left(\sin ^2 2^{\circ}+\sin ^2 88^{\circ}\right)+\cdots+\left(\sin ^2 89^{\circ}+\sin ^2 1^{\circ}\right)\)
   
   \(=\left(\sin ^2 1^{\circ}+\cos ^2 1^{\circ}\right)+\left(\sin ^2 2^{\circ}+\cos ^2 2^{\circ}\right)+\cdots+\left(\sin ^2 89^{\circ}+\cos ^2 89^{\circ}\right)=89\)
   
   \(\therefore S=44.5\).

2. 答案 (1) 证明路，\(a_n=(n+1)^2\)，\(b_n=2^{n-1}\)；(2) \(m≤-1\) .
   
   解析 (1)证明： \(\because(n+1) a_{n+1}-(n+2) a_n=(n+1)(n+2)\)，
   
   \(\therefore \dfrac{a_{n+1}}{n+2}-\dfrac{a_n}{n+1}=1\)．\(\therefore\)数列\(\left\{\dfrac{a_n}{n+1}\right\}\)为等差数列，
   
   又\(a_1=4\)， \(\therefore \dfrac{a_ 1}{2}=2\)，公差为\(1\)．
   
   \(\therefore \dfrac{a_n}{n+1}=2+(n-1) \times 1=n+1\)，则\(a_n=(n+1)^2\)；
   
   \(\because S_n=2b_n-1\)，①
   
   令\(n=1\)，得\(b_1=1\)，
   
   \(\therefore S_{n+1}=2b_{n+1}-1\)，②
   
   由②－①得：\(S_{n+1}-S_n=2b_{n+1}-2b_n=b_{n+1}\)．
   
   \(\therefore \dfrac{b_{n+1}}{b_n}=2\)．
   
   \(\therefore \{b_n\}\)为等比数列，且\(b_1=1\)，\(q=2\)．
   
   \(\therefore b_n=2^{n-1}\)；
   
   (2) \(c_n=\left(\sqrt{a_n}-1\right) b_{n+1}=n 2^n\)．
   
   \(\therefore T_n=1 \times 2+2 \times 2^2+3 \times 2^3+\cdots+(n-1) \times 2^{n-1}+n \times 2^n\)，①
   
   \(\therefore 2T_n=1×2^2+2×2^3+⋯+{n-1}×2^n+n×2^{n+1}\)，②
   
   由①－②得：
   
   \(-T_n=2+2^2+2^3+\cdots+2^n-n \times 2^{n+1}=\dfrac{2\left(1-2^n\right)}{1-2}-n \times 2^{n+1}\)．
   
   \(\therefore T_n=(n-1)×2^{n+1}+2\)．
   
   而\(S_n=2b_n-1=2^n-1\)， \(\therefore S_{n+1}=2^{n+1}-1\)．
   
   \(\because T_n≤nS_{n+1}-m-2\)恒成立，
   
   \(\therefore m≤nS_{n+1}-2-T_n=2^{n+1}-n-4\)．
   
   令\(f(n)=2^{n+1}-n-4\)，
   
   \(\therefore f(n+1)-f(n)=2^{n+1}-1>0\)．
   
   \(\therefore f(n)\)递增，则 \(f(n)_{\min }=f(1)=-1\)．
   
   故\(m≤-1\)．

3. 证明 (1)\(\because a_{n-1}-a_n=2a_n a_{n-1} (n≥2 ，n∈N^*)\)
   
   \(\therefore \dfrac{1}{a_n}-\dfrac{1}{a_{n-1}}=2(n \geq 2)\)，
   
   \(\therefore\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}\)是以\(3\)为首项，\(2\)为公差的等差数列．
   
   (2)由(1)知： \(\dfrac{1}{a_n}=3+(n-1) \cdot 2=2 n+1\)，
   
   \(\therefore a_n=\dfrac{1}{2 n+1}\) ，
   
   \(\therefore a_n^2=\dfrac{1}{(2 n+1)^2}<\dfrac{1}{4 n^2+4 n}=\dfrac{1}{4 n(n+1)}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)\)，
   
   \(\therefore a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2<\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\cdots+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)\)
   
   \(<\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)<\dfrac{1}{4}\)．

【C组---拓展题 】

1.设\(f(x)=(x-1)^3+1\)，则\(f(－4)+⋯+f(0)+⋯+f(5)+f(6)\)的值为\(\underline{\quad \quad}\).

2.已知正项数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，对\(∀n∈N^*\)有\(2S_n=a_n^2+a_n\)．令 \(b_n=\dfrac{1}{a_n \sqrt{a_{n+1}}+a_{n+1} \sqrt{a_n}}\)，设\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和为\(T_n\)，则在\(T_1\)，\(T_2\)，\(T_3\)，\(…\)，\(T_{100}\)中有理数的个数为\(\underline{\quad \quad}\)．

3.已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)， \(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n+1}}=\sqrt{a_n \cdot a_{n+1}}\left(n \in N^*\right)\)．

  (1)求证：数列\(\left\{\sqrt{\dfrac{1}{a_n}}\right\}\)为等差数列，并求\(a_n\)；

  (2)设 \(b_n=\sqrt{1+2 a_{n+1}}\)，数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，求证：\(S_n<n+1-\dfrac{1}{n+1}\)．

参考答案

1. 答案 \(11\)
   
   解析 用倒序相加法：
   
   令\(f(-4)+f(-3)+⋯+f(0)+⋯+f(5)+f(6)=S\) ①
   
   则也有\(f(6)+f(5)+⋯+f(0)+⋯+f(-3)+f(-4)=S\) ②
   
   由\(f(x)+f(2-x)=(x-1)^3+1+(x-1)^3+1=2\)，
   
   可得：\(f(-4)+f(6)=f(-3)+f(5)=⋯=2\)，
   
   于是由①②两式相加得\(2S=11×2\)，
   
   所以\(S=11\) .

2. 答案 \(9\)
   
   解析 \(\because 2S_n=a_n^2+a_n\)，
   
   \(\therefore\)当\(n≥2\)时，\(2a_n=2(S_n-S_{n-1} )=(a_n^2+a_n )-(a_{n-1}^2+a_{n-1})\)，
   
   整理得：\((a_n-a_{n-1})( a_n+a_{n-1})=a_n+a_{n-1}\)，
   
   又\(\because\)数列\(\{a_n\}\)的每项均为正数，\(\therefore a_n-a_{n-1}=1\)，
   
   又\(\because 2a_1=a_1^2+a_1\)，即\(a_1=1\)，
   
   \(\therefore\)数列\(\{a_n\}\)是首项、公差均为\(1\)的等差数列， \(\therefore a_n=n\)，
   
   \(\therefore b_n=\dfrac{1}{a_n \sqrt{a_{n+1}}+a_{n+1} \sqrt{a_n}}=\dfrac{1}{\sqrt{n(n+1)}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\)\(=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)，
   
   \(\therefore\) 数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和为 \(T_n=1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}=1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)，
   
   要使得\(T_n\)为有理数，只需\(\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)为有理数即可，即\(n+1=t^2\)，
   
   \(\because 1≤n≤100\)，\(\therefore t=3、8、15、24、35、48、63、80、99\)，
   
   即在\(T_1\)，\(T_2\)，\(T_3\)，\(…\)，\(T_{100}\)中有理数的个数为\(9\)个，
   
   故答案为：\(9\)．

3. 答案 (1) 证明略，\(a_n=\dfrac{1}{n ^2}\) ；(2) 略.
   
   解析 (1)解：由\(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n+1}}=\sqrt{a_n \cdot a_{n+1}}\)，得\(\dfrac{1}{\sqrt{a_{n+1}}}-\dfrac{1}{\sqrt{a_n}}=1\)，
   
   所以数列\(\left\{\sqrt{\dfrac{1}{a_n}}\right\}\)是以\(1\)为首项\(1\)为公差的等差数列，
   
   即\(\dfrac{1}{\sqrt{a_n}}=1+(n-1)=n\)，化简得 \(a_n=\dfrac{1}{n^2}\)．
   
   (2)证明：因为 \(\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}<0\)，
   
   所以\(\dfrac{2}{n+1}\left(\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}\right)<0<\dfrac{1}{n^2(n+1)^2}\)，
   
   可得：\(\dfrac{2}{(n+1)^2}<\dfrac{2}{n(n+1)}+\dfrac{1}{n^2(n+1)^2}\)，
   
   即\(1+\dfrac{2}{(n+1)^2}<1+\dfrac{2}{n(n+1)}+\dfrac{1}{n^2(n+1)^2}\)，
   
   所以\(\sqrt{1+\dfrac{2}{(n+1)^2}}<1+\dfrac{1}{n(n+1)}\)，
   
   因为\(b_n=\sqrt{1+2 a_{n+1}}=\sqrt{1+\dfrac{2}{(n+1)^2}}<1+\dfrac{1}{n(n+1)}\)，
   
   所以\(S_n=b_1+b_2+\cdots+b_n\)\(<n+\dfrac{1}{1 \times 2}+\dfrac{1}{2 \times 3}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)}=n+1-\dfrac{1}{n+1}\)．
   
   所以\(S_n<n+1-\dfrac{1}{n+1}\)．