【LightOJ1336】Sigma Function（数论）

【LightOJ1336】Sigma Function（数论）

题面

Vjudge

求和运算是一种有趣的操作，它来源于古希腊字母σ，现在我们来求一个数字的所有因子之和。例如σ(24)=1+2+3+4+6+8+12+24=60.对于小的数字求和是非常的简单，但是对于大数字求和就比较困难了。现在给你一个n，你需要求出有多少个数字的σ是偶数。

注：一个数字的σ指这个数的所有因子之和

题解

现在观察一下数的因子和的奇偶性

如果这个数是一个奇数

那么，它的因子一定成对存在

且每一对的和都是偶数

但是，如果是完全平方数，那么它有一对为奇数

所以，所有奇数的完全平方数的因子和是奇数

如果这个数是偶数

那么，它可以写成\(2^x*n\)的形式

它的因子也可以看成成对存在的

所以，如果因子两项中都是偶数，那么和也是偶数，

所以，需要考虑的是分解成\(2^x*a\)和\(b\)的形式

但是\(a,b\)是对称的，所以有\(2^x*a\)就必有\(2^x*b\)

所以，这样组合起来还是偶数

但是，发现当\(n\)是完全平方数的时候

只能写出一个\(2^x*\sqrt n\)和\(\sqrt n\)

此时的因数的和是奇数

所以，我们发现，

只有\(2^x*i^2\)且\(i\)是奇数的时候

他们的因子的和才是奇数

所以，要求的就是\(n\)中含有几个\(2^x*i^2\)

每次把\(n\)除二，这样考虑每次的结果中含有几个\(i^2\)的倍数就行了

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补充\(O(1)\)做法

上面的分类可以继续简化：

也就是所有的完全平方数和他们的两倍

所以，减去的值就是\(\sqrt n + \sqrt \frac{n}{2}\)

---

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
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#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
inline ll read()
{
	ll x=0,t=1;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return x*t;
}
int main()
{
	int T=read();
	for(int gg=1;gg<=T;++gg)
	{
		ll n=read(),l=sqrt(n);
		ll ans=n;
		while(n)
		{
			ll gg=sqrt(n);if(gg%2==0)gg--;
			ans-=(gg+1)/2;
			n>>=1;
		}
		printf("Case %d: %lld\n",gg,ans);
	}
	return 0;
}