2018牛客网暑假ACM多校训练赛（第四场）C Chiaki Sequence Reloaded (组合+计数) 或 数位dp

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题目传送门 - https://www.nowcoder.com/acm/contest/142/C

题意

　　定义

$$a_n=\begin{cases}0&\text{$(n=1)$}\\ a_{\left\lfloor\frac n2 \right\rfloor}+(-1)^{\frac{n(n+1)}2}&\text{$(n>1)$}\end{cases}$$

　　现在 有 $T$ 组询问，每组询问给定一个 $n$ 让你求

$$\sum_{i=1}^{n}|a_i|$$

　　$T=10^5,n\leq 10^{18}$

题解

　　AC 之后查了一下别人的代码，发现居然有一份代码和我做法类似。Orz

　　标算是 数位dp ，不用动什么脑子，码出来就可以了。由于博主十分的懒，不想写数位dp，于是瞎bb了个简单的做法，没想到真的能 AC 。顺手卡到了代码第一短和跑的第一快。

　　首先，我们考虑如何得到任意 $x$ 的 $a_x$ 。不要直接代公式，我们来找找规律。我们考虑把原数写成二进制，个位为第一位。那么，假设这个数在二进制形式下有 $t$ 位，那么对于每两个连续的数位，如果他们相等，则对 $a_x$ 的贡献为 $1$ ，否则为 $-1$ 。这个很好证明的，不多说。

　　预处理一下 $ans_{i,j}$ 表示后面还有 $j$ 位没有确定，而前面对答案的贡献为 $i$ 时，后面所有填法所得到的 $x$ 的 $|a_x|$ 之和。

　　我们考虑枚举一下后面 $j$ 位有几位与其前一位不同。则对于每一个枚举到的值，设为 $k$ ，则可以在 $j$ 位中选择 $k$ 个让它与它的前一位相同，得到的 $a_x=i+2k-j$ ，方案总数为 $\binom{j}{k}$ ，对 $ans_{i,j}$ 的贡献为 $\binom{j}{k}\times |a_x|$ 。所以我们可以 $O(\log^3 maxn)$ 预处理这个东西。

　　对于每一个 $n$ ，把它搞成二进制形式，考虑分三种情况求答案。

　　第一种情况：统计的数的位数比 $n$ 小（在二进制下），则答案贡献为 $\sum_{i=1}^{d-1} ans_{0,i-1}$ 。

　　第二种情况：$i$ 从高到低位枚举，当前统计的数从第 $i$ 位开始比 $n$ 小了，设 $tot$ 为比 $i$ 位高的数位以及 $i$ 本身对 $a_x$ 的贡献，则当前 $i$ 对答案的贡献为 $ans_{tot,i-1}$ 。

　　第三种情况：$x=n$ ，直接把 $|a_x|$ 加到答案里就可以了。

　　时间复杂度 $O(\log^3 n+ T \log n)$ 。

代码

最短和最快！

截止 2018-07-28  23:10 最快代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL read(){
	LL x=0;
	char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch))
		ch=getchar();
	while (isdigit(ch))
		x=(x<<1)+(x<<3)+ch-48,ch=getchar();
	return x;
}
const int N=140,_0=64,mod=1e9+7;
int C[N/2][N/2],ans[N][N/2],T,d[N],t;
LL n;
void del(int &x){
	if (x>=mod)
		x-=mod;
}
int main(){
	for (int i=0;i<N/2;i++)
		C[i][0]=1;
	for (int i=1;i<N/2;i++)
		for (int j=1;j<=i;j++)
			C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
	for (int i=-64;i<=64;i++)
		for (int j=0;j<=64;j++)
			for (int k=0;k<=j;k++)
				ans[i+_0][j]=(1LL*C[j][k]*abs(i+2*k-j)+ans[i+_0][j])%mod;
	T=read();
	while (T--){
		for (n=read(),t=0;n;d[++t]=n&1,n>>=1);
		int res=0,tot=0;
		for (int i=t-1;i>=1;i--){
			int k=(d[i]==d[i+1])?1:-1;
				del(res+=ans[0+_0][i-1]);
			if (d[i]==1)
				del(res+=ans[tot-k+_0][i-1]);
			tot+=k;
		}
		del(res+=abs(tot));
		printf("%d\n",res);
	}
	return 0;
}

截止 2018-07-28  23:18 最短代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=150,_0=74,mod=1e9+7;
int C[N][N],ans[N][N],T,d[N],t;
LL n;
int main(){
    for (int i=0;i<N;i++)
        C[i][0]=1;
    for (int i=1;i<N;i++)
        for (int j=1;j<=i;j++)
            C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
    for (int i=-64;i<=64;i++)
        for (int j=0;j<=64;j++)
            for (int k=0;k<=j;k++)
                ans[i+_0][j]=(1LL*C[j][k]*abs(i+2*k-j)+ans[i+_0][j])%mod;
    scanf("%d",&T);
    while (T--){
        scanf("%lld",&n);
        for (t=0;n;d[++t]=n&1,n>>=1);
        int res=0,tot=0;
        for (int i=t-1;i>=1;i--){
            int k=(d[i]==d[i+1])?1:-1;
            res=(res+ans[0+_0][i-1])%mod;
            if (d[i]==1)
                res=(res+ans[tot-k+_0][i-1])%mod;
            tot+=k;
        }
        printf("%d\n",(res+abs(tot))%mod);
    }
    return 0;
}