GDOI2018 滑稽子图 [斯特林数，树形DP]

传送门并没有

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思路

见到那么小的\(k\)次方，又一次想到斯特林数。

\[ans=\sum_{T} f(T)^k = \sum_{i=0}^k i!S(k,i)\sum_{T} {f(T)\choose i}
\]

很套路地，考虑后面那个式子的组合意义：对于每一个点集的导出子图，选出\(i\)条边的方案数。

很套路地，我们想到树形DP。

设\(dp_{x,s,0/1}\)表示\(x\)子树内的所有非空点集的导出子图里选出\(s\)条边，点集里有/没有\(x\)，的方案数。

每次加上一棵子树，就分三种情况考虑：只有原有的、只有新的、合在一起。其中最后一种要记入答案里。

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代码

#include<bits/stdc++.h>
clock_t t=clock();
namespace my_std{
	using namespace std;
	#define pii pair<int,int>
	#define fir first
	#define sec second
	#define MP make_pair
	#define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
	#define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
	#define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
	#define templ template<typename T>
	#define sz 101010
	#define mod 998244353ll
	typedef long long ll;
	typedef double db;
	mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
	templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}
	templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
	templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
	templ inline void read(T& t)
	{
		t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;
		while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
		while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
		if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
		t=(f?-t:t);
	}
	template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
	char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z=0;
    inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
    inline void print(register int x)
    {
    	if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]='-',x=-x;
    	while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    	while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
    }
	void file()
	{
		#ifndef ONLINE_JUDGE
		freopen("a.in","r",stdin);
		#endif
	}
	inline void chktime()
	{
		#ifndef ONLINE_JUDGE
		cout<<(clock()-t)/1000.0<<'\n';
		#endif
	}
	#ifdef mod
	ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
	ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
	#else
	ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}
	#endif
//	inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;

int n,m,K;
struct hh{int t,nxt;}edge[sz<<1];
int head[sz],ecnt;
void make_edge(int f,int t)
{
	edge[++ecnt]=(hh){t,head[f]};
	head[f]=ecnt;
	edge[++ecnt]=(hh){f,head[t]};
	head[t]=ecnt;
}

ll dp[sz][15][2];
ll f[15][2];
int size[sz];
ll ans[15];
void dfs(int x,int fa)
{
	dp[x][0][0]=0;dp[x][0][1]=1;++ans[0];
	size[x]=1;
	#define v edge[i].t
	go(x) if (v!=fa)
	{
		dfs(v,x);
		rep(i,0,14) rep(j,0,1) f[i][j]=dp[x][i][j];
		rep(j,0,min(K,size[v])) (f[j][0]+=dp[v][j][0]+dp[v][j][1])%=mod;
		rep(j,0,min(size[x],K))
		{
			rep(k,0,min(size[v],K-j))
			{
				ll S=(dp[v][k][0]+dp[v][k][1])%mod;
				ll s1=dp[x][j][0]*S%mod,s2=dp[x][j][1]*(S+(k?dp[v][k-1][1]:0))%mod;
				(f[j+k][0]+=s1)%=mod,
				(f[j+k][1]+=s2)%=mod;
				(ans[j+k]+=s1+s2)%=mod;
			}
		}
		rep(i,0,K) rep(j,0,1) dp[x][i][j]=f[i][j];
		size[x]+=size[v];
	}
	#undef v
}
void solve(){dfs(1,0);}

ll S[15][15];

int main()
{
	file();
	int x,y;
	read(n,m,K);
	rep(i,1,n-1) read(x,y),make_edge(x,y);
	solve();
	S[0][0]=1;
	rep(i,1,K)
		rep(j,1,i)
			S[i][j]=(S[i-1][j-1]+S[i-1][j]*j%mod)%mod;
	ll fac=1,Ans=0;
	rep(i,1,K) fac=fac*i%mod,(Ans+=fac*S[K][i]%mod*ans[i]%mod)%=mod;
	cout<<Ans;
	return 0;
}