【CF908G】New Year and Original Order 数位DP

【CF908G】New Year and Original Order

题意：令S(i)表示将i中所有数位上的数拿出来，从小到大排序后组成一个新的数的值。如S(50394)=3459。求$\sum\limits_{i=1}^nS(i)$。

$n\le 10^{700}$。

题解：比较难的数位DP。我们考虑分别计算每个数字的贡献。令f0[i][a][b]表示考虑到第i位数，其中数字a的最高为是b的数的数量，再令f1[i][a][b]表示a这个数的贡献。再设g0,g1表示小于等于n的所有数的DP值。转移比较复杂，我能1A也是不容易啊。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll P=1000000007;
int n;
int v[705];
ll ans;
ll f0[705][10][705],f1[705][10][705],g0[705][10][705],g1[705][10][705],pw[705];
char str[705];
int main()
{
	int i,a,b,j;
	scanf("%s",str),n=strlen(str);
	for(pw[0]=i=1;i<=n;i++)	v[i]=str[n-i]-'0',pw[i]=pw[i-1]*10%P;
	for(a=0;a<=9;a++)	f0[0][a][0]=g0[0][a][0]=1;
	for(i=1;i<=n;i++)	for(a=0;a<=9;a++)	for(b=0;b<=9;b++)
	{
		if(b==8)
		{
			b++,b--;
		}
		if(a<b)	for(j=0;j<i;j++)
		{
			f1[i][b][j]=(f1[i][b][j]+f1[i-1][b][j])%P;
			f0[i][b][j]=(f0[i][b][j]+f0[i-1][b][j])%P;
			if(a<v[i])
			{
				g1[i][b][j]=(g1[i][b][j]+f1[i-1][b][j])%P;
				g0[i][b][j]=(g0[i][b][j]+f0[i-1][b][j])%P;
			}
			else if(a==v[i])
			{
				g1[i][b][j]=(g1[i][b][j]+g1[i-1][b][j])%P;
				g0[i][b][j]=(g0[i][b][j]+g0[i-1][b][j])%P;
			}
		}
		else	if(a==b)	for(j=0;j<i;j++)
		{
			f1[i][b][j+1]=(f1[i][b][j+1]+f1[i-1][b][j]+f0[i-1][b][j]*a*pw[j])%P;
			f0[i][b][j+1]=(f0[i][b][j+1]+f0[i-1][b][j])%P;
			if(a<v[i])
			{
				g1[i][b][j+1]=(g1[i][b][j+1]+f1[i-1][b][j]+f0[i-1][b][j]*a*pw[j])%P;
				g0[i][b][j+1]=(g0[i][b][j+1]+f0[i-1][b][j])%P;
			}
			else if(a==v[i])
			{
				g1[i][b][j+1]=(g1[i][b][j+1]+g1[i-1][b][j]+g0[i-1][b][j]*a*pw[j])%P;
				g0[i][b][j+1]=(g0[i][b][j+1]+g0[i-1][b][j])%P;
			}
		}
		else	for(j=0;j<i;j++)
		{
			f1[i][b][j+1]=(f1[i][b][j+1]+f1[i-1][b][j]*10)%P;
			f0[i][b][j+1]=(f0[i][b][j+1]+f0[i-1][b][j])%P;
			if(a<v[i])
			{
				g1[i][b][j+1]=(g1[i][b][j+1]+f1[i-1][b][j]*10)%P;
				g0[i][b][j+1]=(g0[i][b][j+1]+f0[i-1][b][j])%P;
			}
			else if(a==v[i])
			{
				g1[i][b][j+1]=(g1[i][b][j+1]+g1[i-1][b][j]*10)%P;
				g0[i][b][j+1]=(g0[i][b][j+1]+g0[i-1][b][j])%P;
			}
		}
	}
	for(a=0;a<=9;a++)	for(i=1;i<=n;i++)	ans=(ans+g1[n][a][i])%P;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}