MT【234】正方形染色（二)

有$n$个正方形排成一行,今用红,白,黑三种颜色给这$n$个正方形染色,每个正方形只能染一种颜色.如果要求染这三种颜色的正方形都是偶数个,问有多少种不同的染色方法.

解答:

设有$a_n$种不同的染法,则$\{a_n\}$对应的指数型母函数为
$f(x)=\left(1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots+\dfrac{x^{2n}}{2n!}+\cdots\right)^3=\left(\dfrac{1}{2}{e^x+e^{-x}}\right)^3$
$=\dfrac{1}{8}\sum\limits_{n=0}^{\infty}{3^n+2+3(-1)^n+(-1)^n3^n}\dfrac{x^n}{n!}$
故
$$a_n=
\begin{cases}
0,&n\textbf{为奇数}\\
\dfrac{3^n+3}{4}&n\textbf{为偶数}
\end{cases}$$

当然我们也可以直接写出$n$为偶数时的递推式:$a_n=3a_{n-2}+2(3^{n-2}-a_{n-2}),a_2=3$