[NOI2012] 骑行川藏 | 求导 二分

一个能看的题解！预备知识只有高中数学的【导数】。不用什么偏导数/拉格朗日乘子法之类的我看不懂的东西( •̀∀•́ )！

如果你不知道什么是导数，可以找本高中数学选修2-2来看一下！看第一章第1、2节就好啦。传送门：选修2-2

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感性理解一下这道题：

一开始，我们可以给所有路段随便分配一个速度。

接下来，我们需要在一些路段上耗费一定能量用来提速，以此缩短一定时间。不同路段上，花费单位能量能缩短的时间（简称“性价比”）是不同的，所以如果我们要模拟这个过程，一定是每时每刻都在当前性价比最高的路段上花费能量，直到能量花完为止。（似乎……也可以花费负的能量，增加某路段所需时间，然后把能量用到别的地方去。）

注意到一个性质：随着花费能量增加，性价比会越来越低。

这样的话，只要按照上面这种贪心策略，时时刻刻在性价比最高的路段花费能量（并使它的性价比降低），最后达到最优解时，各路段性价比会一样。

暴力模拟似乎是写不出来的，考虑更正常的做法。

这个性价比是什么呢？如果我们对每段路画出一个\(t-E\)函数图象，表示该路段需要的时间\(t\)与花费的能量\(E\)的函数关系，那么花费一定能量\(e\)之后的“性价比”是什么呢？就是函数图像上横坐标为\(e\)处切线的斜率——导数。

那么最优解就满足——各路段导数一样！

同时，这个公共导数（是负的）绝对值越小（性价比越低），所需能量越多，总时间越小。

于是二分这个导数，求出每段速度，以此求出所需能量，和手里的总能量比较一下，就可以二分得到答案了！

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以上是思路。现在开始数学。

要求出每段导数关于\(v\)的关系。

对于一段路来说（方便起见，把\(k\)乘上\(s\)作为新的\(k\)，就可以少写一个字母了2333）：

\[E = k(v - v')^2
\]

\[t = \frac{s}{v}
\]

那么

\(\frac{dt}{dE}\)

$=\frac{dt}{dv} / \frac{dE}{dv} $

\(= -\frac{s}{v^2} / 2k(v - v')\)

\(= -\frac{s}{2kv^2(v-v')}\)

然后二分公共导数\(x\)，对于每段路解方程\(-\frac{s}{2kv^2(v-v')} = x\)（可二分）得到\(v\)，进而求出需要的能量。

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代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#define enter putchar('\n')
#define space putchar(' ')
using namespace std;
typedef long long ll;
template <class T>
void read(T &x){
    char c;
    bool op = 0;
    while(c = getchar(), c < '0' || c > '9')
        if(c == '-') op = 1;
    x = c - '0';
    while(c = getchar(), c >= '0' && c <= '9')
        x = x * 10 + c - '0';
    if(op == 1) x = -x;
}
template <class T>
void write(T x){
    if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
    if(x >= 10) write(x / 10);
    putchar('0' + x % 10);
}

const int N = 10005, INF = 0x3f3f3f3f;
int n;
double E, s[N], k[N], u[N];

double getv(double x, int i){
    double l = max(u[i], double(0)), r = 100005, mid;
    int cnt = 60;
    while(cnt--){
        mid = (l + r) / 2;
        if(2 * k[i] * x * mid * mid * (mid - u[i]) > -s[i]) l = mid;
        else r = mid;
    }
    mid = (l + r) / 2;
    return (l + r) / 2;
}
double calc(double x){
    double sum = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        double v = getv(x, i);
        sum += k[i] * (v - u[i]) * (v - u[i]);
    }
    return sum;
}

int main(){

    scanf("%d%lf", &n, &E);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%lf%lf%lf", &s[i], &k[i], &u[i]), k[i] *= s[i];
    double l = -INF, r = 0, mid;
    int cnt = 100;
    while(cnt--){
        mid = (l + r) / 2;
        if(calc(mid) <= E) l = mid;
        else r = mid;
    }
    mid = (l + r) / 2;
    double ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        ans += s[i] / getv(mid, i);
    printf("%.10lf\n", ans);

    return 0;
}