山区建小学(区间DP）

山区建小学

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[提交][状态][讨论版][命题人:quanxing]

题目描述

政府在某山区修建了一条道路，恰好穿越总共m个村庄的每个村庄一次，没有回路或交叉，任意两个村庄只能通过这条路来往。已知任意两个相邻的村庄之间的距离为di(为正整数)，其中，0<i<m。为了提高山区的文化素质，政府又决定从m个村中选择n个村建小学(设0<n≤m<500)。请根据给定的m、n以及所有相邻村庄的距离，选择在哪些村庄建小学，才使得所有村到最近小学的距离总和最小，计算最小值。

 

输入

第1行为m和n，其间用空格间隔

第2行为(m-1) 个整数，依次表示从一端到另一端的相邻村庄的距离，整数之间以空格间隔。

例如:

10 3

2 4 6 5 2 4 3 1 3

表示在10个村庄建3所学校。第1个村庄与第2个村庄距离为2，第2个村庄与第3个村庄距离为4，第3个村庄与第4个村庄距离为6，...，第9个村庄到第10个村庄的距离为3。

输出

各村庄到最近学校的距离之和的最小值。

 

样例输入

10 2
3 1 3 1 1 1 1 1 3

样例输出

18

区间DP。f[n][m]表示1..n中建m个小学的最小花费。 
一个结论：如果要在i..j中选一个点使所有点到这个点的总距离最小，这个点一定在中点位置。训练指南上有证明，其实很简单，反证法，假设不是中间的点，左移或右移一个点，会发现造价升高。

山区建小学不是《信息学奥赛一本通第5版》的例题，是noi官方题库的题目。 
这题用动态规划来解决，这里需要一个辅助的数组dist，dist[i][j]表示在从i到j这一段区间建一所小学，i到j的村庄都到这个学校来上学的路程和。 
分析： 
这里采用之前讲到过的分析的方法来分析 
状态表达：f[i][j]表示前i个村庄建j所学校，到里那个村庄最近的学校上学的路程和。 
状态转移：

f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-1]+s[k+1][i]);
在前k个村庄造j-1个学校的最小和   +   k+1到i个学校造一个学校的最小和
 

在前
详见代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int inf=;
int f[][];
int dis[][];//从i到j距离
int d[];
int s[][];
//s[管辖区起点][管辖区终点]=这片辖区内建一个学校，区内村庄到学校的距离和
int n,m;
int dist(int i,int j){
    int x=;
    int mid=(i+j)/;
    for(int k=i;k<=j;k++)
      x+=dis[k][mid];
    return x;
}  

int main(){
    scanf("%d%d",&m,&n);
    int i,j,x;
    for(i=;i<=m;i++){//从2开始，方便求各村庄间距离
        scanf("%d",&x);
        d[i]=d[i-]+x;
    }
    //
    for(i=;i<=m;i++)
      for(j=;j<=m;j++){
        if(i==j)dis[i][j]=;
        else dis[i][j]=dis[j][i]=abs(d[j]-d[i]);
      }//初始化两两距离
    //
    for(i=;i<=m;i++)
      for(j=;j<=m;j++)
        s[i][j]=dist(i,j);
    //计算一个管辖从i到j村庄的学校到这些村庄的距离和
    //
    for(i=;i<=m;i++)
      for(j=;j<=m;j++)
        f[i][j]=inf;
    for(i=;i<=m;i++)f[i][i]=;
    for(i=;i<=m;i++)f[i][]=s[][i];//只建一个学校的情况
    //f初始化   

/*  //test
    for(i=1;i<=m;i++)
      for(j=1;j<=m;j++)
        printf("%d ",s[i][j]);
*/
    for(i=;i<=m;i++){//村庄
        for(j=;j<=min(i,n);j++){//学校
            for(int k=j-;k<=i-;k++){//枚举已有的学校管辖的范围
                if(i!=j)f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-]+s[k+][i]);
            }
        }
    }
    printf("%d",f[m][n]);  

}