HDU 1043 Eight (A*算法)

题目大意：裸的八数码问题，让你输出空格的一条合法移动路径

首先利用康托展开对排列编号，可以预处理出排列，就不必逆展开了

然后利用A*算法求解

A*算法是一种启发式搜索，具体实现要用到优先队列/堆，不同于$dijkstra$，它的堆不是按照 初始状态向当前状态的花费$dis_{i}$进行贪心转移，而是额外处理出一个估值函数，处理出当前状态到目标状态花费的估计值$h_{i}$，然后按照$dis_{i}+h_{i}$排序，优先取出总和最小的。并且每个状态只会被搜索一次。如果搜索到了目标状态，立即跳出

这个过程，相当于我们取出一个全局较优解，虽然不一定是最优的，但大量减少了无用的搜索时间

而这道题的估值函数，可以粗略的计算为，每个数 当前状态的位置 到 目标状态的位置 的曼哈顿距离$(|xj-xi|+|yj-yi|)$ 之和

经过了A*优化的搜索，虽然不一定能搜出最短的路径，但极大减少了搜索的时间，因为搜的路径越短，我们搜索的总时间也越短，几乎是指数级别的优化。

然而A*也有弊端，如果存在无解的情况，A*就会退化成BFS，对所有状态都搜一次，而且多了一个常数$log$，在hdu上会T掉

所以我上网查了用了八数码判无解的方法，即对于去掉空格以后的8个数的排列，如果逆序对数量总和是奇数，则无解

证明大概是这样的，对于一个序列，任意交换两个相邻的数，逆序对数量的奇偶性不变，而八数码的表格扔到序列上，也满足这个性质

搞了大半个下午终于过了

 #include <queue>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #define NN 370010
 #define MM 100
 #define ll long long
 #define uint unsigned int
 #define ull unsigned long long
 #define inf 0x3f3f3f3f
 using namespace std;

 struct node{
     int id,d;
     friend bool operator<(const node &s1,const node &s2)
     {return s1.d>s2.d;}
     node(int id,int d):id(id),d(d){}
     node(){}
 };
 int xx[]={-,,,},yy[]={,,,-};
 int f[NN][],vis[NN],p[][],cnt;
 int h[NN],g[NN],fa[NN],d[NN];
 int S[],use[],now[],tmp[],mu[];
 inline int mabs(int x){return x>=?x:-x;}
 char ans[MM],c[]={'u','r','d','l'};

 void dfs_permu(int dep)
 {
     if(dep==){
         cnt++;
         for(int i=;i<=;i++)
             f[cnt][i]=now[i],
             h[cnt]+=(mabs((i-)/-(now[i]-)/)+mabs((i-)%-(now[i]-)%));
         return;
     }
     for(int i=;i<=;i++)
         if(!use[i]){
             use[i]=,now[dep]=i;
             dfs_permu(dep+);
             use[i]=,now[dep]=;
         }
 }
 bool check(int x,int y)
 {if(x<||y<||x>||y>)return ;return ;}
 void Pre()
 {
     dfs_permu();
     mu[]=;
     for(int i=;i<=;i++)
         mu[i]=mu[i-]*i;
 }
 int s[];
 void update(int x,int w){for(int i=x;i<=;i+=(i&(-i)))s[i]+=w;}
 int query(int x){int ans=;for(int i=x;i>;i-=(i&(-i)))ans+=s[i];return ans;}
 int canter(int *tmp)
 {
     int ans=;
     for(int i=;i<=;i++)
         update(i,);
     for(int i=;i<=;i++){
         ans+=query(tmp[i]-)*mu[-i];
         update(tmp[i],-);
     }
     return ans+;
 }
 int clr[NN],nn;
 void init()
 {
     memset(ans,,sizeof(ans));
     for(int i=;i<=nn;i++){
         vis[clr[i]]=fa[clr[i]]=d[clr[i]]=;
         g[clr[i]]=inf;
     }nn=;
 }

 int main()
 {
     Pre();
     char str[];
     priority_queue<node>q;
     nn=cnt;
     for(int i=;i<=nn;i++) clr[i]=i;
     while(scanf("%s",str)!=EOF)
     {

     if(''<=str[]&&str[]<='')
         S[]=str[]-'';
     else S[]=;
     for(int i=;i<=;i++)
     {
         scanf("%s",str);
         if(''<=str[]&&str[]<='')
             S[i]=str[]-'';
         else S[i]=;
     }
     int invcnt=;
     for(int i=;i<=;i++)
         for(int j=;j<i;j++){
             if(S[i]==||S[j]==) continue;
             if(S[j]>S[i]) invcnt++;
         }
     if(invcnt&){
         printf("unsolvable\n");
         continue;}
     init();
     int s,t,st,sx,sy,x,y;
     st=canter(S);
     if(st==){
         puts("");
         continue;
     }
     q.push(node(st,h[st]));
     g[st]=;
     while(!q.empty())
     {
         node k=q.top();q.pop();
         s=k.id;clr[++nn]=s;
         if(s==) break;
         if(vis[s]) continue; vis[s]=;
         for(int i=;i<=;i++)
             if(f[s][i]==)
                 sx=(i-)/+,sy=(i-)%+;
         for(int i=;i<=;i++)
             tmp[i]=f[s][i];
         for(int k=;k<;k++)
         {
             x=sx+xx[k],y=sy+yy[k];
             if(!check(x,y)) continue;
             swap(tmp[(x-)*+y],tmp[(sx-)*+sy]);
             int t=canter(tmp);
             if(g[t]>g[s]+&&!vis[t]){
                 g[t]=g[s]+,fa[t]=s,d[t]=k;
                 q.push(node(t,g[t]+h[t]));
             }
             swap(tmp[(x-)*+y],tmp[(sx-)*+sy]);
         }
     }
     while(!q.empty()){
         node k=q.top();q.pop();
         s=k.id;clr[++nn]=s;
     }
     if(!fa[]){
         printf("unsolvable\n");
         continue;
     }
     t=;int num=;
     while(t!=st){
         ans[++num]=c[d[t]];
         t=fa[t];
     }
     for(int i=num;i>=;i--)
         printf("%c",ans[i]);
     puts("");

     }

     return ;
 }