平衡树前置——BST

上一节：平衡树——序

BST（Binary Search Tree）二叉排序树，其定义为：二叉排序树或者是空树，或者是满足如下性质的二叉树：

　　①若它的左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；

　　②若它的右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；

　　③左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。

  上述性质简称二叉排序树性质(BST性质)，故二叉排序树实际上是满足BST性质的二叉树。简单解释为左子树.val<根.val<右子树.val。

  显然，BST的中序遍历是val的递增序列。

  BST优美的层次性支持我们插入节点，删除节点，查询前缀后继（以后会解释什么是前缀后继），查询该节点排名，查询第k小（或大）的数。因为比当前节点小的数都在左子树，比当前节点大的数都在右子树，所以在二叉树上不断地递归，很方便就能找到这个数应在的位置。

  但是在本节中我们并不给出BST的实现代码，很简单，BST并不常用（可能除了偷懒没人会在竞赛中码BST_tree）。

  我们来具体解释一下。从时间复杂度的角度分析，在随机数据（记住这几个字）下，由于二叉树一般会有logn层，所以操作的期望复杂度为O（logn），如图：

   

  当二叉树的左右子树高度差相差不多，我们称之为平衡，但是，一旦有单调的序列插入，那么BST很容易退化成为一条链，那么操作的复杂度就会随之退化为O（n），如图：

  既然单次插入需要O（n），那么总复杂度最坏为O（n^2），BST不适用于特殊构造数据。

  所以我们一般实现BST，而是通过各种手段，使得BST性质不被破坏的同时，令二叉树接近平衡，这就是平衡树的由来。

  满足BST性质，且中序遍历相同的二叉排序树不唯一，这使得我们有了改变树的形态而不改变BST性质的基础。

  接下来，我们将介绍treap，一种利用随机思想维护平衡的平衡树。