[BZOJ4555 TJOI2016 HEOI2016 求和]

​ 第一篇博客，请大家多多关照。（鞠躬

BZOJ4555 TJOI2016 HEOI2016 求和

题意：

​ 给定一个正整数\(n\)（\(1\leqq n \leqq100000\)），求：
\[
\begin{align*}
f(n)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i \begin{Bmatrix}i\\j\end{Bmatrix}\times2^j\times(j!)
\end{align*}
\]

题解：

​ 第二类斯特林数公式题，题目中很良心地给了我们第二类斯特林数的递推公式：
\[
\begin{align*}
\begin{Bmatrix}i\\j\end{Bmatrix}=j\times \begin{Bmatrix}i-1\\j\end{Bmatrix}+\begin{Bmatrix}i-1\\j-1\end{Bmatrix}
\end{align*},1\leqq j\leqq i-1\\
\begin{Bmatrix}i\\i\end{Bmatrix}=[i\geqq0]
\]
​ 于是我们愉快地用上面的公式，于是我们愉快地T掉。

​ 所以，我们应该考虑有没有一种能让我们在\(O(logn)\)内求出我们需要的每一项第二类斯特林数的方法。

​ 有，我们可以用容斥定理求出斯特林数的通项公式（我并不会，是背的）：
\[
\begin{align*}
\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}&=\frac{1}{m!}\sum_{k=0}^m\dbinom{m}{k}(m-k)^n(-1)^k\\
&=\frac{1}{m!}\sum_{k=0}^m\frac{m!}{k!(m-k)!}(m-k)^n(-1)^k\\
&=\sum_{k=0}^m\frac{1}{k!}\frac{(m-k)^n}{(m-k)!}(-1)^k
\end{align*}
\]
​ 带入原式中：
\[
\begin{align*}
f(n)&=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i \begin{Bmatrix}i\\j\end{Bmatrix}\times2^j\times(j!)\\
\because当j>i时，\begin{Bmatrix}i\\j\end{Bmatrix}=0\\&=\sum_{j=0}^n2^j\times(j!)\sum_{i=0}^n\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}\frac{(j-k)^i}{(j-k)!}\\
&=\sum_{j=0}^n2^j\times(j!)\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}\sum_{i=0}^n\frac{(j-k)^i}{(j-k)!}
\end{align*}
\]
​ 出现了卷积形式，记\(A(x)=\sum_{k=0}^x\frac{1}{k!}\)，\(B(x)=\sum_{i=0}^n\frac{x^i}{x!}\)

​ 预处理\(2^j\)、\(j!\)，用ntt处理\(\sum_{j=0}^n\sum_{i+k=j}A(i)\times B(k)\)

​ 时间复杂度：\(O(nlogn)\)