2019 Multi-University Training Contest 10

Contest Info
Solutions

Contest Info

Solved	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K
7/11	-	-	O	Ø	O	-	Ø	O	O	-	O

O 在比赛中通过
Ø 赛后通过
! 尝试了但是失败了
- 没有尝试

Solutions

C - Valentine's Day

题意：
有$n$个礼物，每件礼物能让你女朋友开心的概率是$p_i$。
现在你可以选择$k$件物品，$k$由你自己定，但是你要让你女朋友恰好开心一次的概率最高。

思路：
设已经购买的礼物一次都不能让女朋友开心的概率为$s_0$，恰好开心一次的概率为$s_1$，再买一个概率为$p$的礼物会使得：
\[
\begin{eqnarray*}
(s_0, s_1) \rightarrow (s_0(1 - p), s_1 + (s_0 - s_1)p)
\end{eqnarray*}
\]
那么显然当$s_0 \leq s_1$时，加入任何礼物都不会使得答案更优。
并且有：
\[
\begin{eqnarray*}
s_1 = s_0\sum\limits_{p \in T} \frac{p}{1 - p}
\end{eqnarray*}
\]
大力猜测从大到小选。。。

D - Play Games with Rounddog

题意：
给出一个字符串$S$，每次询问给出$l, r$表示$T = S[l, \cdots, r]$。
现在$Calabash$要从$S$中选择若干个子串$s_i$，使得$T$是他们的后缀，令$cnt_i$为子串$s_i$在$S$中的出现次数。
要保证$w_{cnt_i}$是线性无关的，在此基础上要保证$\sum w_{cnt_i}$尽量大。

思路：
保证$w_{cnt_i}$是线性无关的，那么就是他们可以形成一个线性基。
考虑线性基是个拟阵，具有贪心选择性质。
再考虑选择的子串中都有$T$为他们的后缀，也就是说选择的结点是$SAM$中$parent$树上表示$T$的结点的子树中的结点。
也就是说选择范围是一棵子树。
那么我们对于每个点维护一个其子树构成的线性基，考虑线性基的大小为$logW$，那么我们将每个点按$w_{cnt_i}$从大到小排序，每次暴力更新祖先的线性基，往上爬的过程中，如果某一步不能更新了，那么就$break$掉。
因为每个点的线性基大小很小，大概$64$，所以均摊下来更新的次数大概是$O(nlogW)$，每一次更新的复杂度为$logW$，所以总的时间复杂度为$nlog^2W$。
再考虑查询。
只要找到能表示出$S[l, r]$的深度最小的结点，那么它线性基里面的元素和就是答案。
深度最大的显然是表示出$S[1, r]$的结点，这个可以预处理，然后倍增往上爬即可，只要当前结点的长度大于等于$r - l +1$，那么该节点就可以表示$S[l, r]$。
因为祖先结点表示的字符串是当前结点的后缀。

E - Welcome Party

题意：
有$n$个人，每个人的唱歌的能力值为$x_i$，跳舞的能力值为$y_i$。
现在选择一些人唱歌，一些人跳舞，使得唱歌的能力值的最大值与跳舞的能力值的最大值的差值最小。

思路：
排序一维，然后枚举这一维的最大值。
然后枚举的这个一定要选这一维，这一维小于这个数的可以选这一维也可以选另一维。
这一维大于这个数的一定不选这一维。
那么就用堆维护一下可选可不选的那些人，决定让他们选哪儿。

G - Closest Pair of Segments

题意：
有$n$条线段，找两条相距最近的线段。

思路：
将线段按左端点排序，然后$n^2$枚举，但是注意对于一个$i$，枚举到一个$j$的时候，$j$的左端点与$i$的右端点的$x$的差值已经大于$ans$了。
那么就不用再往下枚举了

H - Coins

题意：
有$n$对硬币，每一对有$(a_i, b_i)$，现在对于每一对硬币，有三种选法：

$a_i, b_i$都不选.
只选$a_i$。
$a_i, b_i$都选

令$f(k)$表示选择$k$个硬币的最大值。
求$f(1) \cdots f(2n)$

思路：
考虑从$f(i) \rightarrow f(i + 1)$，只有四种选择：

从没有选过的硬币对中选择一个$a_i$。
从已经选过的硬币对中选择一个$b_i$。
退掉一个$a_i$，选择一对$(a_j, b_j)$
退掉一个$b_i$，选择一对$(a_j, b_j)$

用堆维护即可。

I - Block Breaker

签到。

K - Make Rounddog Happy

题意：
有一个序列$a_i$，选在要求找出有多少个子段是好的。
一个子段$[l, r]$是好的：

这个子段中的所有数都互不相同
$max(a_l, \cdots, a_r) - (r - l + 1) \leq k$

思路：
处理出每个数的管辖范围。
然后统计这个范围内有多少个过这个数的区间是好的。
因为是枚举每个数作为最大值，那么我们枚举短的那一段。
然后可以预处理出$f_i, g_i$分别表示这个数上次出现的位置，下次出现的位置。
那么一段区间$[l, r]$中的每个数都不同，当且仅当$max(f_l, \cdots f_r) < l$，或者$min(g_l, \cdots, g_r) > r$。
那么可以直接二分找到合法左界，并且可以通过第二个条件直接算出合法左界范围。
然后枚举每个右端点或者左端点，计算出另一个端点范围即可。