奶牛渡河——线性dp

奶牛渡河

题目描述

\(Farmer John\) 以及他的 \(N (1\leq N\leq 2500)\) 头奶牛打算过一条河，但他们所有的渡河工具，仅仅是一个木筏。

由于奶牛不会划船，在整个渡河过程中，\(Farmer John\) 必须始终在木筏上。在这个基础上，木筏上的奶牛数目每增加 \(1\) ，\(Farmer John\) 把木筏划到对岸就得花更多的时间。

当\(Farmer John\) 一个人坐在木筏上，他把木筏划到对岸需要\(M (1\leq M\leq 1000)\)分钟。

当木筏搭载的奶牛数目从 \(i-1\) 增加到 \(i\) 时，\(Farmer John\)得多花 \(M_i (1\leq M_i\leq 1000)\) 分钟才能把木筏划过河。

也就是说，船上有 \(1\) 头奶牛时，\(Farmer John\) 得花 \(M+M_1\) 分钟渡河；船上有 \(2\) 头奶牛时，时间就变成 \(M+M_1+M_2\) 分钟。后面的依此类推。

那么，\(Farmer John\) 最少要花多少时间，才能把所有奶牛带到对岸呢？当然，这个时间得包括 \(Farmer John\) 一个人把木筏从对岸划回来接下一批的奶牛的时间。

输入格式

第 \(1\) 行: \(2\) 个用空格隔开的整数：\(N\) 和 \(M\) ;

第 \(2...N+1\) 行: 第 \(i+1\) 为 \(1\) 个整数: \(M_i\) ;

输出格式

第 \(1\) 行: 输出 \(1\) 个整数，为\(Farmer John\)把所有奶牛都载过河所需的最少时间；

样例

样例输入

5 10
3
4
6
100
1

样例输出

50

题目大意：

载船运牛，每载一头牛，运送时间越长，求最短的运送时间。

注意

\(①\) 注意回来的时间。

\(②\) \(M_i\) 指的是船上有 \(i\) 头牛时，增加 \(M_i\) 的时间，而不是第 \(i\) 头牛运的时候需要 \(M_i\) 的时间。

\(③\) 注意加上 \(m\) 本身。

思路

求数组的前缀和，使 \(M_i\) 的值代表船上有 \(i\) 头牛时，运送需要的时间。

决策：直接把这 \(i\) 头牛运过去；

　　　或者先把 \(j\) 头牛运过去，回来在把剩下的 \(i-j\) 头牛运过去。

动态方程：\(dp[i]=min(dp[i],dp[j]+cow[i-j]+m)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=5000+50;
int n,m;
int Cow[maxn],dp[maxn];

int main(){
      cin>>n>>m;
　　　 Cow[0]=m;//算上木筏的时间
　　　 for(int i=1;i<=n;i++){
            cin>>Cow[i];
            Cow[i]+=Cow[i-1];//求前缀和，便于计算
      }
      for(int i=1;i<=n;i++){
            dp[i]=Cow[i];//初始化
            for(int j=0;j<i;j++){
                  dp[i]=min(dp[i],dp[j]+Cow[i-j]+m);//决策
            }
      }
      cout<<dp[n]<<endl;
      return 0;
}