引导图滤波（Guided Image Filtering）原理以及OpenCV实现

引导图是一种自适应权重滤波器，能够在平滑图像的同时起到保持边界的作用，具体公式推导请查阅原文献《Guided Image Filtering》。这里只说一下自适应权重原理、C++实现灰度图像以及彩色图像的引导图滤波、验证结果。

• 自适应权重原理
  
   引导图滤波作为一种线性滤波器，可以简单定义为如下形式：
  

  其中I是引导图像(guided Image)，P是输入的待滤波图像，Q是滤波后的输出图像，W是根据引导图I确定的权重值。权重值W可以用下式表示（原文献有详细推导）：
  
          μk是窗口内像素点的均值，Ii和Ij指相邻两个像素点的值，σk代表窗口内像素点的方差，ε是一个惩罚值。自适应权重可以根据上式分析得到：Ii和Ij在边界两侧时，(Ii-μk)和(Ij-μk)异号，否则，则同号。而异号时的权重值将远远小于同号时的权重值，这样处于平坦区域的像素则会被加以较大的权重，平滑效果效果更明显，而处于边界两侧的像素则会被加以较小的权重，平滑效果较弱，能够起到保持边界的效果。
        惩罚值ε对滤波效果影响也很大，当ε值很小时，滤波如前面所述；当ε值很大时，权重的计算公式将近似为一个均值滤波器，平滑效果会更明显。
       
  
  同样也可以根据线性滤波公式来看引导图滤波的自适应权重原理，局部线性滤波模型公式如下：
  
  

  I指引导图像，Q是输出图像，ak和bk两个系数根据引导图I和输入图像P共同决定。将上式两边求梯度，可以得到▽q=a*▽I，即输出图像的梯度信息完全由引导图像的梯度信息决定，当引导图中有边界时，输出图像中对应位置也会有边界。而a和b的值将会决定梯度信息和平滑信息的权重大小。
        通过观察a和b的公式，a的分子为I和P的协方差，分母部分为I的方差加上截断值ε；b得值为P的均值减去a乘以I的均值。可以看出当a值很小时，b约等于窗口内像素点的均值pk，近似于均值滤波；而当a值很大时，输出则主要取决于a*▽I的大小，梯度信息能够得到保留。

• C++实现灰度图像以及彩色图像的引导图滤波
  根据原文献中提供的伪代码，不难用C++实现引导图滤波算法。伪代码如下：
  
  
  
  这里需要分两种情况，1.引导图为单通道的灰度图；2.引导图为三通道的彩色图。

1. 引导图为单通道
   分别算出I与P的均值图像，以及I²和I*P的均值图像；再求出I的方差图像，以及I*P的协方差图像；利用公式求出a和b的值；再窗口内对a和b求均值；再根据公式算出输出图像。
   这里又分为两种情况：
   ①输入图为单通道：按照上述步骤计算即可。
   ②输入图为三通道：先分离三个通道，对每个通道进行上述滤波操作，然后合并通道即可。
2. 引导图为三通道
   此时，将上述模型做了稍微修改，如下：
   
   不同之处在于求a时将原来的方差σ替换为协方差3x3矩阵∑k，表示如下。U是3x3单位矩阵求出来的a将不再时一个值，而是一个1*3的向量，然后求b时，a为1*3的向量，μk为3*1的向量，相乘后为一常量，由此可以求得常量b的值。
   

   这里又分为两种情况：
   ①输入图为单通道：按照上述步骤计算即可。
   ②输入图为三通道：先分离三个通道，对每个通道进行上述滤波操作，然后合并通道即可。
   
   注：引导图为彩色图比引导图为灰度图，边界保护更加明显，见原文。

• 效果验证

代码里面求均值部分，可以由OpenCV中的boxFilter（）函数实现，或者blur（）函数实现。总之是一个均值滤波器，之所以与窗口大小无关，是因为使用直方图实现的均值滤波，能够大大降低运算时间。VS2015+OpenCV3.4.0实现的代码放在我的码云code上：https://gitee.com/rxdj/guidedFilter.git。
      主要输入参数就是引导图I，输入图P，窗口半径r，截断值ε，输出参数为滤波后图像Q。引导图I和输入图像P可以相同，也可以不同，比如stereo matching中常常用原参考图像作为引导图，对代价空间图进行引导图滤波以实现代价聚合。这样能尽量保留原图像边界区域的匹配代价，而平滑平坦区域的匹配代价。

1. 单通道灰度图
   原图
   
   
             r=10, ε=0                            r=10,  ε=100                  r=10 , ε=800                          r=10, ε=2000 
             
   
   r=0, ε=500                             r=5, ε=500                            r=10, ε=500                              r=20, ε=500 
             
2. 三通道彩色图
   原图
   
   
     r=10, ε=0                            r=10,  ε=100                           r=10 , ε=800                          r=10, ε=2000 
                
   
   r=0, ε=500                             r=5, ε=500                            r=10, ε=500                              r=20, ε=500