二叉树问题（区间DP好题）

二叉树问题

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题目描述

Petya Bulochkin很幸运：他得到了一份在“Macrohard”公司的工作。他想要展现他的才华，所以他要把他第一份工作做得尽可能好。这个任务是写一个搜索引擎。Petya知道一系列的整数A1，A2，……，Ak（k<=300, 1<=Ai<=10000000, Ai 都不相同）我们把这些数称作关键字。这个引擎应该要能回答这样的问题：“那里是不是有一个关键字是S？”我们已经知道，S是1到n（1<=n<=10000000）中任何一个整数。Petya决定使用排序二叉树来解决这个问题。

我们把比较的次数称作费用C。例如，对于第三棵二叉树，我们有对于每一个S的查找费用：

S	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
C	2	3	3	3	3	3	1	2	2	2	2

我们把对于s=1～n的费用和称作二叉树的费用，例如，第三棵二叉树的费用是2+3+3+3+3+3+1+2+2+2+2=26

我们的任务是对于关键字A1～Ak，写出由这些关键字形成的二叉树中的最小费用。

输入

第一行是n，第二行是k，下面k行中第i行是Ai

输出

输出文件仅有一行包含一个整数表示要求的最小费用。

样例输入

10
4

9
3
7
4

样例输出

22

提示

这个最小费用的二叉树指的是：

题解：

先拿样例来说，根据二叉搜索树的左小右大的性质，4~7都是查找2次，7~9都是查找3次，不难发现，查找次数相同的数都是以区间的形式存在的。

因此判断这道题是区间DP，将n个数从小到大排序即可。

确定了思路，现在让我们来看怎么定义状态，定义状态是这道题的难点，本人一开始简单的认为f[i][j]表示在区间i~j中查找数a[i]~a[j]的最小次数，发现后效性不可避免。后来听了点大佬的教导，其实正确的状态定义应该为f[i][j]表示在区间i~j中查找a[i-1]+1~a[j+1]-1的最小次数。（是不是很巧妙?）

动规方程很简单f[j][i+j-1]=min(f[j][i+j-1],f[j][k-1]+(a[i+j]-a[j-1]-1));

AC代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
#include<ctime>
#include<vector>
using namespace std;
int n,m;
int a[],f[][];
int main()
{
    int i,j,k;
    memset(f,/,sizeof(f));
    scanf("%d",&m);
    scanf("%d",&n);
    for(i=;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    sort(a+,a+n+);
    a[]=;a[n+]=m+;
    for(i=;i<=n;i++)
        f[i][i]=a[i+]-a[i-]-;
    for(i=;i<=n;i++)
    {
        for(j=;j<=n-i+;j++)
        {
            for(k=j;k<=i+j-;k++)
            {
                if(k==j)f[j][i+j-]=min(f[j][i+j-],f[k+][i+j-]+(a[i+j]-a[j-]-));
                else if(k==i+j-)f[j][i+j-]=min(f[j][i+j-],f[j][k-]+(a[i+j]-a[j-]-));
                else f[j][i+j-]=min(f[j][i+j-],f[j][k-]+f[k+][i+j-]+(a[i+j]-a[j-]-));
            }
        }
    }
    cout<<f[][n];
    return ;
}

特别感谢，@SilverWolf