[noip模拟]改造二叉树<LIS>

1.改造二叉树

【题目描述】

小Y在学树论时看到了有关二叉树的介绍：在计算机科学中，二叉树是每个结点最多有两个子结点的有序树。通常子结点被称作“左孩子”和“右孩子”。二叉树被用作二叉搜索树和二叉堆。随后他又和他人讨论起了二叉搜索树。

什么是二叉搜索树呢？二叉搜索树首先是一棵二叉树。设key[p]表示结点p上的数值。对于其中的每个结点p，若其存在左孩子lch，则key[p]>key[lch]；若其存在右孩子rch，则key[p]<key[rch]；注意，本题中的二叉搜索树应满足对于所有结点，其左子树中的key小于当前结点的key，其右子树中的key大于当前结点的key。

小Y与他人讨论的内容则是，现在给定一棵二叉树，可以任意修改结点的数值。修改一个结点的数值算作一次修改，且这个结点不能再被修改。若要将其变成一棵二叉搜索树，且任意时刻结点的数值必须是整数（可以是负整数或0），所要的最少修改次数。

相信这一定难不倒你！请帮助小Y解决这个问题吧。

【输入格式】

第一行一个正整数n表示二叉树结点数。结点从1~n进行编号。

第二行n个正整数用空格分隔开，第i个数ai表示结点i的原始数值。

此后n - 1行每行两个非负整数fa, ch，第i + 2行描述结点i + 1的父亲编号fa，以及父子关系ch，(ch = 0 表示i + 1为左儿子，ch = 1表示i + 1为右儿子)。

结点1一定是二叉树的根。

【输出格式】

仅一行包含一个整数，表示最少的修改次数。

【样例输入】

3

2 2 2

1 0

1 1

【样例输出】

2

【数据范围】

20 % ：n <= 10 , ai <= 100.

40 % ：n <= 100 , ai <= 200

60 % ：n <= 2000 .

100 % ：n <= 10 ^ 5 ,  ai < 2 ^ 31.

对树的知识了解的人可能一下就可以反应过来，我们针对一个小的分支看，是左边<父节点<右边。。。。然后这个顺序想到了啥

对，就是中序遍历，中序遍历：左中右。。。。然后题中也说到，整个左子树要小于父节点

然后我们就能够推出来，改造二叉树的中序遍历是严格上升的

然后题就转换成了求中序遍历，然后求最长严格上升子序列。。。。

求最长严格上升子序列可以进行优化，因为是严格上升，所以第i个至少比第i-1个大1，然后我们可以对这个序列里的数减去他的序数，就是求最长不下降子序列

这题还有一个需要注意的地方是，数据范围太大，不适合普通的LIS做法，要进行优化。。。

优化方式是开个数组f[i]记录满足条件的第i个数最小是f[i]

我们画图理解

然后我们唯一要处理就是图中第一个6和4 对f的影响

这里我们可以用二分的方式，因为是上升子序列，所以我们只需要二分找到第一个比当前小的数，然后用当前数取代之前那个数

图中就是，当i=4时，二分找到第一个比他小的i=1,a[i]=1的数，然后发现a[2]<a[4]就用2取代这个位置的6,f[2]=6，9的取代同理

这样做就大大优化了时间，不会超时

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 #include<cstdlib>
 #include<queue>
 #define maxn 100005
 using namespace std;

 struct node{
     int l,r,val;
 }tree[maxn];

 int n,a[maxn],f[maxn],ans,tot;

 void dfs(int pos){//中序遍历左中右
     if(pos<)return;
     dfs(tree[pos].l);
     tot++;
     a[tot]=tree[pos].val-tot;//求最长不下降子序列
     dfs(tree[pos].r);
 }

 int find(int l,int r,int x)
 {
     while(l<=r){
         int mid=(l+r)/;
         if(f[mid]<=x)l=mid+;
         else r=mid-;
     }
     return l;
 }

 int main()
 {
     freopen("binary.in","r",stdin);
     freopen("binary.out","w",stdout);
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;i++){
         scanf("%d",&tree[i].val);
     }int fa,so;
     for(int i=;i<=n;i++){
         scanf("%d%d",&fa,&so);
         if(so==)tree[fa].l=i;
         else tree[fa].r=i;
     }
     dfs();
     f[]=a[];ans=;
     for (int i=;i<=n;i++)//最长不降字串一类的信方式
     {
         if (a[i]>=f[ans])
             f[++ans]=a[i];
         else
             f[find(,ans,a[i])]=a[i];//当合法字串长度一样，尽量用小的那一个
     }
     printf("%d\n",n-ans);
 /*
 6
 4 6 5 1 9 6
 1 0
 1 1
 2 0
 2 1
 3 1
 */
 }

总结：在遇到和树相关的题时，如果允许，可以从前中后遍历去查询问题。。。

　　　最长上升或不降这一类的题，可以进行优化，优化方式如文。。。

　　　还有一点就是可以合理运用容斥原理，我们这是求最少不合法的个数，然后可以转换成总数减去合法的最大个数