Introduction to Differential Equations,Michael E.Taylor,Page 3,4 注记

此文是对 [Introduction to Differential Equations,Michael E.Taylor] 第3页的一个注记.在该页中,作者给了微分方程
$$
\frac{dx}{dt}=x,x(0)=1.
$$
一个幂级数的解法.设
$$
x(t)=a_0t^0+a_1t^1+a_2t^2+a_3t^3+a_4t^4+\cdots
$$
注意,作者这样设之后,其实已经假定存在一个实解析函数满足该微分方程,剩下的就是解出该实解析函数.为此,作者进行逐项微分.
$$
x'(t)=a_1+2a_2t+3a_3t^2+4a_4t^3+5a^5t^4+\cdots
$$
注意,作者在此逐项微分,实际上已经假定了函数列
$$
a_0t^0,a_0t^0+a_1t^1,a_0t^0+a_1t^1+a_2t^2,a_0t^0+a_1t^1+a_2t^2+a_3t^3,\cdots
$$
和函数列
$$
a_1,a_1+2a_2t,a_1+2a_2t+3a_3t^2,a_1+2a_2t+3a_3t^2+4a_4t^3,a_1+2a_2t+3a_3t^2+4a_4t^3+5a^5t^4,\cdots
$$

是一致收敛的.可见作者假定的条件是很多的,幸亏在如此多的条件之下,还存在一个解.

---

此文是对 [Introduction to Differential Equations,Michael E.Taylor] 第4页的一个注记.在该页中,作者要求证明 $e^{ax}$ 是微分方程
$$
f'(x)=ax,f(0)=1.
$$
的唯一解.假如满足如上条件的函数不是唯一的,则存在 $g(x)\neq f(x)$,使得
$$
g'(x)=ax,g(0)=1.
$$
则 $f(0)=g(0)$,且 $f'(x)=g'(x)$.因此两个函数必然是相同的(物理意义很明显,两个质点在时间0的时候静止在同一个地方.然后在接下来时时刻刻速度相同,则两个质点走出的轨迹是重合的).