poj_1390 动态规划

题目大意

将一些连续的序列根据颜色分为N段，每段有颜色 为 Ci, 长度为 Li。每次点击其中的一段 i ，则可以将该段i消除，该段相邻的两段自动连接到一起，如果连接到一起的两段之前的颜色相同，则更新该段的长度。消除过程可以得到得分 Li*Li。求当所有的段都消除完毕时的最多得分。

分析

求最优化问题，典型的动态规划。 
（1）考虑前n个段被消除最大得分，求dp[n]? 
    显然不行，因为无法保证无后效性，因为这种递推从前向后，如果先消除了前i个段，则前i个段中可能和后面的段合并后再消除的情况就不存在了，即无法表示所有的情况。这样就导致无法构成递推关系，即即使知道了dp[0], dp[1], ....dp[n-1]， 也无法知道 dp[n]； 
（2）考虑 段i到段j之间被消除的最大得分，求 dp[0][n-1]? 即区间动态规划 
    既然要求完全消除 [i...j] 的得分，则必定要先消除一个，就从最后一个段j开始。此时有两种选择： 
        1、直接消除j，得分Lj*Lj. 
        2、先消除j之前的某些段，遇到一个颜色和j相同的段，将该段和j进行合并（由于j之前可能有多个间隔的和j颜色相同的段s，因此需要进行枚举取最大值） 
    但是，在第二种选择中，将j和某个段s进行合并之后，得到一个新的段，此时是直接消除该大段，还是继续选择将该大段和之前的某个段s1合并后再消除？ 
    如果需要构造递推关系，则有 dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][s'] + dp[s+1][j-1]) 
其中 dp[s+1][j-1]是将 s到j之间的先消除，将s和j进行合并，设s和j合并后得到的段为s'，dp[i][s']是将i到 s'进行合并后的得分。 
    这样做，明显会改变原来的段的大小结构，多个段进行交叉操作时会乱，无法保证无后效性。

（3）进一步考虑： 
dp数组，dp[i][j][k] 表示从下i到j的连续的段，且j之后有长度为k的颜色和 Seq[j]相同，但是不和j相邻的段， 
将 [i, j] 内的段完全消除，且将j之后的那长度为k的段也消除，能够得到的最大分数 
注意，消除的时候，分值不包括 j到长度为k的段之间的那些数据消除的得分

这样构造状态，就可以形成递推关系： 
dp[i][j][k] = dp[i][j-1][0] + (k+Lj)*(k+Lj) 
dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i][s][k + Lj] + dp[s+1][j-1][0])

实现(c++)

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAX_SEG_NUM 202

//保存每段的数据，颜色和长度
struct Seg{
	int color;
	int length;
};
Seg gSegs[MAX_SEG_NUM];
//dp数组，dp[i][j][k] 表示从下i到j的连续的段，且j之后有长度为k的颜色和 Seq[j]相同，但是不和j相邻的段，
//将 [i, j] 内的段完全消除，且将j之后的那长度为k的段也消除，能够得到的最大分数
//注意，消除的时候，分值不包括 j到长度为k的段之间的那些数据消除的得分
int dp[MAX_SEG_NUM][MAX_SEG_NUM][MAX_SEG_NUM];

int Square(int x){
	return x*x;
}
//dp函数。采用递归式的动态规划
int GetScore(int start, int end, int ex_len){
	//如果已经求完，则直接返回
	if (dp[start][end][ex_len])
		return dp[start][end][ex_len];

	int result = Square(gSegs[end].length + ex_len); //将段j和j之后长度为k的段进行合并，直接消除求出结果
	if (start == end)	//递归结束
		return dp[start][end][ex_len] = result;

	result += GetScore(start, end - 1, 0);
	//方案一：将段j和j之后长度为k的段进行合并消除，然后加上 i 到j 之间的段进行求和（注意 ex_len 为0是因为
	//在求 dp[i][j][k]的时候，分值不包括 j到长度为k的段之间的那些数据的得分，因此 求 i到j-1之间的消除得分即可，即 ex_len = 0

	//方案二：在将j和j之后长度为k的段放在一块之后，先不消除，而是递归到子问题：
	//从i到j之间找出s，使得s的颜色和j的颜色相同，然后先消去 s+1到j-1 之间的部分SS，则子问题 为 dp[i][s][length(j) + k] + SS
	//从 SS中取出最大值
	for (int i = end - 1; i >= start; i--){
		if (gSegs[i].color != gSegs[end].color)
			continue;
		int tmp = GetScore(start, i, ex_len + gSegs[end].length) + GetScore(i + 1, end - 1, 0);
		if (tmp > result)
			result = tmp;
	}
	return dp[start][end][ex_len] = result;
}
int main(){
	int cas, c = 1;
	int total_num, color, last_color, k;
	scanf("%d", &cas);
	while (c <= cas){
		scanf("%d", &total_num);
		last_color = -1;
		k = -1;
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		for (int i = 0; i < total_num; i++){
			scanf("%d", &color);
			if (last_color != color){
				k++;
				last_color = color;
				gSegs[k].length = 0;
				gSegs[k].color = color;
			}
			gSegs[k].length++;
		}

		printf("Case %d: %d\n", c++, GetScore(0, k, 0));
	}
	return 0;
}