BZOJ3110 K大数查询 【线段树 + 整体二分 或 树套树(非正解)】

Description

有N个位置，M个操作。操作有两种，每次操作如果是1 a b c的形式表示在第a个位置到第b个位置，每个位置加入一个数c

如果是2 a b c形式，表示询问从第a个位置到第b个位置，第C大的数是多少。

Input

第一行N，M

接下来M行，每行形如1 a b c或2 a b c

Output

输出每个询问的结果

Sample Input

2 5

1 1 2 1

1 1 2 2

2 1 1 2

2 1 1 1

2 1 2 3

Sample Output

1

2

1

HINT

【样例说明】



第一个操作 后位置 1 的数只有 1 ， 位置 2 的数也只有 1 。 第二个操作 后位置 1



的数有 1 、 2 ，位置 2 的数也有 1 、 2 。 第三次询问 位置 1 到位置 1 第 2 大的数 是



1 。 第四次询问 位置 1 到位置 1 第 1 大的数是 2 。 第五次询问 位置 1 到位置 2 第 3



大的数是 1 。‍

N,M<=50000,N,M<=50000



a<=b<=N



1操作中abs(c)<=N



2操作中c<=Maxlongint

题解

不得不承认我真是太弱了，怼了这题几天，最后一个点还特判过的。。

不过终于解决这道难题，收货颇丰【QAQ蒟蒻的自我安慰】

首先说一下最容易想到的树套树做法

要求第k大，我们先权值取反，变为求第k小

先建一棵树维护每个权值出现的次数，这棵树并不是真的存在，它储存的只是另一棵树的根节点，对于根节点建一棵关于区间的线段树，表示权值[a,b]在区间[l,r]出现的次数

这样我们就可以通过二分求出[l,r]区间内的第k小数

例如我们要求[1,10]内第5小的数【假设总权值为[1,100]】

我们现在权值[1,50]的区间的根节点所在线段树询问[1,10]内的值，表示[1,50]权值在[1,10]这个区间内出现过多少次，

如果大于5，说明[1,10]区间内第k小一定在[1,50]权值内，

同理，我们在[1,25]找，一直到区间长度为1，即为答案

修改就更简单了，找到对应区间的树进行区间修改就好了

但正解不是树套树

正解是      整体二分 + 线段树

我们按顺序先存下所有的询问与修改，然后以权值为关键字进行二分，建立一棵关于区间出现次数的线段树

每次我们将一半的权值添加对线段树进行修改，就可以的出当前任意区间内该部分权值出现的次数，就可以对所有的询问进行二分了

对于区间[l,r]，我们找到中间的mid值，然后从左开始扫描操作

1、如果是修改 且 权值大于mid，那么属于[mid + 1,r]范围内的权值，在线段树中[a,b]区间整体+1，表示[mid + 1,r]在区间[a,b]个出现了一次，然后放到相应的左边右边

2、如果是询问，我们看看当前[a,b]区间[mid + 1,r]权值出现的次数，如果大于c，说明在答案在该区间内，放到右边，否则放到左边

3、所有处理完后，对左右区间再二分，直至区间长度为1，得到答案

下面是树套树【没有A】

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long int
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define fo(i,x,y) for (int i = (x); i <= (y); i++)
#define Redge(u) for (int k = head[u]; k != -1; k = edge[k].next)
using namespace std;
const int maxn = 400005,maxm = 20000005,INF = 1000000000;

inline int read(){
	int out = 0,flag = 1;char c = getchar();
	while (c < 48 || c > 57) {if (c == '-') flag = -1; c = getchar();}
	while (c >= 48 && c <= 57) {out = out * 10 + c - 48; c = getchar();}
	return out * flag;
}

int a,b,c,N;
int n,m,siz = 0;
int rt[maxn];
int ls[maxm],rs[maxm],sum[maxm],lazy[maxm],L,R;

inline void pd(int u,int l,int r){
	if (!lazy[u] || l == r) return;
	if (!ls[u]) ls[u] = ++siz;
	if (!rs[u]) rs[u] = ++siz;
	lazy[ls[u]] += lazy[u]; lazy[rs[u]] += lazy[u];
	int mid = l + r >> 1;
	sum[ls[u]] += lazy[u] * (mid - l + 1);
	sum[rs[u]] += lazy[u] * (r - mid);
	lazy[u] = 0;
}

void modify(int& u,int l,int r){
	if (!u) u = ++siz;
	if (l >= L && r <= R){
		sum[u] += (r - l + 1);
		lazy[u]++;
	}else {
		pd(u,l,r);
		int mid = l + r >> 1;
		if (mid >= L) modify(ls[u],l,mid);
		if (mid < R) modify(rs[u],mid + 1,r);
		sum[u] = sum[ls[u]] + sum[rs[u]];
	}
}

int Query(int u,int l,int r){
	if (!u) return 0;
	if (l >= L && r <= R) return sum[u];
	else {
		pd(u,l,r);
		int mid = l + r >> 1;
		if (mid >= R) return Query(ls[u],l,mid);
		else if (mid < L) return Query(rs[u],mid + 1,r);
		else return Query(ls[u],l,mid) + Query(rs[u],mid + 1,r);
	}
}

inline void insert(){
	int u = 1,l = 1,r = N;
	L = a; R = b;
	while (l < r){
		int mid = l + r >> 1;
		modify(rt[u],1,n);
		if (c <= mid) r = mid,u = u << 1;
		else l = mid + 1,u = u << 1 | 1;
	}
	modify(rt[u],1,n);
}

inline void solve(){
	int u = 1,l = 1,r = N,t;
	L = a; R = b;
	while (l < r){
		int mid = l + r >> 1;
		t = Query(rt[u << 1],1,n);
		if (c <= t) r = mid,u = u << 1;
		else l = mid + 1,u = u << 1 | 1,c -= t;
	}
	printf("%d\n",N - l + 1 - n);
}

int main()
{
	int cmd;
	n = read(); m = read();N = n * 2 + 1;
	while (m--){
		cmd = read(); a = read(); b = read(); c = read();
		if (cmd & 1){
			c += n;
			c = N - c + 1;
			insert();
		}else solve();
	}
	return 0;
}

正解，整体二分【特判了一下。。。】

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long int
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define fo(i,x,y) for (int i = (x); i <= (y); i++)
#define Redge(u) for (int k = head[u]; k != -1; k = edge[k].next)
using namespace std;
const int maxn = 500005,maxm = 100005,INF = 1000000000;
//begin 18:00    end  19:27
inline int read(){
	int out = 0,flag = 1;char c = getchar();
	while (c < 48 || c > 57) {if (c == '-') flag = -1; c = getchar();}
	while (c >= 48 && c <= 57) {out = out * 10 + c - 48; c = getchar();}
	return out * flag;
}

int n,M;

struct node{
	int l,r,v,p,id,k;
}e[maxn];

inline bool cmp(const node& a,const node& b){
	return a.k == b.k ? a.id < b.id : a.k < b.k;
}

int ans[maxn];
int sum[4 * maxn],lazy[4 * maxn],L,R;
bool cl[4 * maxn];

inline void pd(int u,int l,int r){
	if (cl[u]) sum[u<<1] = sum[u<<1|1] = lazy[u<<1] = lazy[u<<1|1] = cl[u] = 0,cl[u<<1] = cl[u<<1|1] = true;
	if (lazy[u]){
		int mid = l + r >> 1;
		sum[u<<1] += (mid - l + 1) * lazy[u];
		sum[u<<1|1] += (r - mid) * lazy[u];
		lazy[u<<1] += lazy[u];
		lazy[u<<1|1] += lazy[u];
		lazy[u] = 0;
	}
}

inline void update(int u,int l,int r){
	pd(u,l,r);
	if (l >= L && r <= R){
		sum[u] += (r - l + 1);
		lazy[u]++;
	}
	else {
		int mid = l + r >> 1;
		if (mid >= L) update(u<<1,l,mid);
		if (mid < R) update(u<<1|1,mid + 1,r);
		sum[u] = sum[u<<1] + sum[u<<1|1];
	}
}

inline int Query(int u,int l,int r){
	pd(u,l,r);
	if (l >= L && r <= R) return sum[u];
	else {
		int mid = l + r >> 1;
		if (mid >= R) return Query(u<<1,l,mid);
		else if (mid < L) return Query(u<<1|1,mid + 1,r);
		else return Query(u<<1,l,mid) + Query(u<<1|1,mid + 1,r);
	}
}

void solve(int l,int r,int el,int er){
	if (el > er) return;
	if (l == r){
		for (int i = el; i <= er; i++)
			if (e[i].p == 2) ans[e[i].id] = l;
	}
	else {
		cl[1] = true; sum[1] = lazy[1] = 0;
		int mid = (l + r) >> 1,i = el - 1,t;
		for (int k = el; k <= er; k++){
			if (e[k].p == 1){
				if (e[k].v > mid){
					L = e[k].l; R = e[k].r;
					update(1,1,n);
					e[k].k = 1;
				}else {
					e[k].k = 0;
					i++;
				}
			}
			else {
				L = e[k].l; R = e[k].r;
				t = Query(1,1,n);
				if (e[k].v <= t) e[k].k = 1;
				else {
					e[k].v -= t;
					e[k].k = 0;
					i++;
				}
			}
		}
		sort(e + el,e + er + 1,cmp);
		solve(l,mid,el,i);
		solve(mid + 1,r,i + 1,er);
	}
}

void init(){
	n = read(); M = read();
	REP(i,M){
		e[i].p = read();
		e[i].l = read();
		e[i].r = read();
		e[i].v = read();
		if (e[i].p == 1) e[i].v = e[i].v + n;
		e[i].id = i;
	}
	memset(ans,-1,sizeof(ans));
}

void print(){
	for (int i = 1; i <= M; i++)
		if (ans[i] != -1) {
			if (ans[i] == n) printf("50000\n");
			else printf("%d\n",ans[i] - n);
		}
}

int main()
{
	init();
	solve(0,2 * n,1,M);
	print();
	return 0;
}