题目大意 给定\(S(n,m)\)表示第二类斯特林数,定义函数\(f(n)\) \[f(n) = \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^iS(i,j)*2^j*(j!)\] 给定正整数\(n,(n\leq 10^5)\),求\(f(n)\) 题解 我们都知道第二类斯特林数的递推公式为 \[S(i,j) = S(i-1,j-1) + j*S(i-1,j),(1 \leq j \leq i-1)\] 且有边界\(S(i,i) = 1(0 \leq i),S(i,0) = 0(1 \leq i…

题面 传送门 思路 首先,我们发现这个式子中大部分的项都和$j$有关(尤其是后面的$2^j\ast j!$),所以我们更换一下枚举方式,把这道题的枚举方式变成先$j$再$i$ $f(n)=\sum_{j=0}^n2^j\ast j!\sum_{i=0}^nS_i^j$ 第二类斯特林数有一个基于组合意义的公式: $S_i^j=\frac1{j!}\sum_{k=0}^j(-1)^kC_j^k(j-k)^i=\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k(j-k)^i}{k!(j-k)!}$ 把这…

题意: 输出f(n)对998244353(7 × 17 × 223 + 1)取模的结果.1 ≤ n ≤ 100000 其中S(i,j)是第二类Stirling数,即有i个球,丢到j个盒子中,要求盒子不为空的方案总数 S(i,j)=S(i-1,j-1)+j*S(i-1,j) (前面一项表示第i个球单独放到一个盒子中,后面一项表示放到前面j个盒子中的某一个) 分析: 首先这个n不是丧心病狂的大,所以感觉可以求i=1时的结果,i=2时的结果,i=3时的结果……,于是可以不看第一个Σ 我们考虑后面的这项…

[BZOJ4555]求和(第二类斯特林数,组合数学,NTT) 题面 BZOJ 题解 推推柿子 \[\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^iS(i,j)·j!·2^j\] \[=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nS(i,j)·j!·2^j\] \[=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nj!·2^j(\frac{1}{j!}\sum_{k=0}^j(-1)^k·C_j^k·(j-k)^i)\] \[=\sum_{j=0}^n2^j\sum_{k=0}^j(-1)^k…

[BZOJ4555]求和(多种解法混合版本) 题面 BZOJ 给定\(n\),求 \[f(n)=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i}S(i,j)\times 2^j \times (j!)\] \(n<=100000\),结果对\(998244353\)取模. 其中\(S(i,j)\)是第二类斯特林数,表示将\(i\)个有区别的球放入\(j\)个相同的盒子中,每个盒子非空的方案数. \(S(n,m)=S(n-1,m-1)+S(n-1,m)*m\) 边界条件:\(S(i,0)=…

4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和 Time Limit: 40 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 525  Solved: 418[Submit][Status][Discuss] Description 在2016年,佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数,非常开心. 现在他想计算这样一个函数的值: S(i, j)表示第二类斯特林数,递推公式为: S(i, j) = j ∗ S(i − 1, j) + S(i − 1, j − 1), 1 <…

​ 第一篇博客,请大家多多关照.(鞠躬 BZOJ4555 TJOI2016 HEOI2016 求和 题意: ​ 给定一个正整数\(n\)(\(1\leqq n \leqq100000\)),求: \[ \begin{align*} f(n)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i \begin{Bmatrix}i\\j\end{Bmatrix}\times2^j\times(j!) \end{align*} \] 题解: ​ 第二类斯特林数公式题,题目中很良心地给了我们第二类斯特林数的…

题目描述 在2016年,佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数,非常开心. 现在他想计算这样一个函数的值: S(i, j)表示第二类斯特林数,递推公式为: S(i, j) = j ∗ S(i − 1, j) + S(i − 1, j − 1), 1 <= j <= i − 1. 边界条件为:S(i, i) = 1(0 <= i), S(i, 0) = 0(1 <= i) 你能帮帮他吗? 输入 输入只有一个正整数 输出 输出f(n).由于结果会很大,输出f(n)对998244353(7 ×…

题目 传送门 解法 我们可以用容斥来求第二类斯特林数 我们知道, 第二类斯特林数\(S(n, k)\)是\(n\)个元素放进\(k\)个无标号的盒子里, 不可以含有空的. 于是我们可以考虑可以含有空的,且盒子有标号, 情况下的数量, 这明显是\(\sum\limits_{j = 0}^{k}{k \choose j}(k-j)^n\) 于是, 根据容斥原理可得:\(S(n, k) = \frac{1}{k!}\sum_{j = 0}^{k}(k-j)^n{k \choose j}(-1)^i\)…

传送门 题意: 求 \[ f(n)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i\begin{Bmatrix} i \\ j \end{Bmatrix}2^jj! \] 思路: 直接将第二类斯特林数展开有: \[ \begin{aligned} f(n)=&\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n2^j\sum_{k=0}^{j}(-1)^k{j\choose k}(j-k)^{i}\\ =&\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n2^jj!\sum_{k=0}^j\f…