传送门 生成函数好题. 题意简述:求nnn个点的树的叶子数期望值. 思路: 考虑fnf_nfn​表示nnn个节点的树的数量. 所以有递推式f0=1,fn=∑i=0n−1fifn−1−i(n>0)f_0=1,f_n=\sum_{i=0}^{n-1}f_if_{n-1-i}(n>0)f0​=1,fn​=∑i=0n−1​fi​fn−1−i​(n>0) 正是一个卷积的形式. 那么fnf_nfn​的生成函数F(x)=xF2(x)+1F(x)=xF^2(x)+1F(x)=xF2(x)+1 注意要填上…

传送门 生成函数经典题. 题意简述:给出nnn个数,可以从中选1/2/31/2/31/2/3个,问所有可能的和对应的方案数. 思路: 令A(x),B(x),C(x)A(x),B(x),C(x)A(x),B(x),C(x)表示选111个,222个,333个的生成函数,ans1(x),ans2(x),ans3(x)ans1(x),ans2(x),ans3(x)ans1(x),ans2(x),ans3(x)表示选111个,222个,333个答案的生成函数. 那么ans1(x)=A(x)ans1(x)=…

题目链接 bzoj4001: [TJOI2015]概率论 题解 生成函数+求导 设\(g(n)\)表示有\(n\)个节点的二叉树的个数,\(g(0) = 1\) 设\(f(x)\)表示\(n\)个节点的二叉树叶子节点的个数,\(f_0 = 0,f_1 = 1\) 那么\(ans = \frac{f_i}{g_i}\) 对于\(g_i\) 考虑有一颗\(n\)个点的二叉树,由于左右字数都是二叉树,枚举左右子树的点数 \[g_n = \sum_{i = 0}^{n - 1}g_ig_{n - i -…

设f(n)为n个节点的二叉树个数,g(n)为n个节点的二叉树的叶子数量之和.则答案为g(n)/f(n). 显然f(n)为卡特兰数.有递推式f(n)=Σf(i)f(n-i-1) (i=0~n-1). 类似地,左子树节点数为i时右子树有f(n-i-1)种情况,那么可以对左子树的叶子节点数之和计数,显然再乘2就是总数了.有递推式g(n)=2Σg(i)f(n-i-1) (i=0~n-1). 因为递推式是卷积形式,考虑生成函数.设F(x).G(x)分别为f(n).g(n)的生成函数(均为无穷级数).则有F…

传送门 生成函数简单题. 题意:给出一个集合A={a1,a2,...as}A=\{a_1,a_2,...a_s\}A={a1​,a2​,...as​},所有数都在[0,m−1][0,m-1][0,m−1]之间,mmm是一个质数,求满足全部由这个集合里的组成且长度为nnn且所有数之积与xxx在模mmm意义下相同的数列总数. 思路:对a1,a2,..,as,xa_1,a_2,..,a_s,xa1​,a2​,..,as​,x全部化成gb1,gb2,...gbs,gyg^{b_1},g^{b_2},..…

题目描述 输入 输入一个正整数N,代表有根树的结点数 输出 输出这棵树期望的叶子节点数.要求误差小于1e-9 样例输入 1 样例输出 1.000000000 题解 生成函数+导数 先考虑节点个数为$n$的二叉树有多少个:$c_0=1,c_i=\sum\limits_{j=0}^{i-1}c_j*c_{i-j-1}$,显然这是Catalan数. 令其生成函数为$F(x)$,由其递推式可以列出方程:$F(x)=xF(x)^2+1$,解得: $F(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}…

题目链接 BZOJ4001 题解 Miskcoo 太神了,orz #include<algorithm> #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cmath> #include<map> #define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt) #define REP(i,n) for (int…

传送门 对于出题人zxyoizxyoizxyoi先%\%%为敬题目需要龟速乘差评. 题意简述:5e55e55e5组数据,给出n,请你求出所有n位数中有偶数个5的有多少,n≤1e18n\le1e18n≤1e18 思路:一眼数位dpdpdp,哎哟这nnn怎么这么大绝望.jpg 既然是zxyoizxyoizxyoi大毒瘤的题自然要推一推式子了无奈.jpg 考虑对每一位构造生成函数: 首位:F(x)=8+xF(x)=8+xF(x)=8+x 非首位:F(x)=9+xF(x)=9+xF(x)=9+x 所以答…

传送门 生成函数模板题. 我们直接把每种食物的生成函数列出来: 承德汉堡:1+x2+x4+...=11−x21+x^2+x^4+...=\frac 1{1-x^2}1+x2+x4+...=1−x21​ 可乐:1+x=1−x21−x1+x=\frac{1-x^2}{1-x}1+x=1−x1−x2​ 鸡腿:1+x+x2=1−x31−x1+x+x^2=\frac{1-x^3}{1-x}1+x+x2=1−x1−x3​ 蜜桃多:x+x3+x5+...=x(1+x2+x4+...)=x1−x2x+x^3+x…

传送门 生成函数入门题. 按照题意构造函数: 对于限定必须是出现偶数次的颜色:1+x22!+x44!+...=ex+e−x21+\frac {x^2}{2!}+\frac {x^4}{4!}+...=\frac{e^x+e^{-x}}21+2!x2​+4!x4​+...=2ex+e−x​ 对于无限定的颜色:1+x1!+x22!+...=ex1+\frac x{1!}+\frac{x^2}{2!}+...=e^x1+1!x​+2!x2​+...=ex 因此最终的生成函数SET(x)=e2x∗(ex…