「NOI2016」循环之美 对于小数\(\frac{a}{b}\),如果它在\(k\)进制下被统计,需要满足要求并且不重复. 不重复我们确保这个分数是最简分数即\((a,b)=1\) 满足要求需要满足第一位的余数在后面仍然出现,第一位余数是\(a\bmod b\),后面第\(x\)位的余数实际上是\(a\times k^x\bmod b\) 所以我们需要满足 \[ a\equiv a \times k^x\pmod b \] 有解 因为\((a,b)=1\),所以 \[ k^x\equiv 1\…

Portal Description 给出\(n,m(n,m\leq10^9)\)和\(k(k\leq2000)\),求在\(k\)进制下,有多少个数值不同的纯循环小数可以表示成\(\dfrac{x}{y}\)的形式,其中\(x\in[1,n],y\in[1,m]\).一个数是纯循环小数当且仅当它能写成\(a.\dot{c_1} c_2 c_3 \ldots c_{p-1}\dot{c_p}\)的形式. Solution 原题相当于求有多少个数对\((x,y)\)满足\(gcd(x,y)=1\)…

「NOI2016」优秀的拆分 这不是个SAM题,只是个LCP题目 95分的Hash很简单,枚举每个点为开头和末尾的AA串个数,然后乘一下之类的. 考虑怎么快速求"每个点为开头和末尾的AA串个数" 考虑枚举A的长度,然后在序列中每|A|个位置放一个关键点,这样每个AA至少都经过了一个关键点. 然后求相邻两个关键点的lcs,lcp,画画图匹配一下,可以把区间内的都求出来了. 可以Hash二分或者sa或者sam Code: #include <cstdio> #include &…

P1587 [NOI2016]循环之美 题目描述 牛牛是一个热爱算法设计的高中生.在他设计的算法中,常常会使用带小数的数进行计算.牛牛认为,如果在 $k$ 进制下,一个数的小数部分是纯循环的,那么它就是美的.现在,牛牛想知道:对于已知的十进制数 $n$ 和 $m$,在 $k$ 进制下,有多少个数值上互不相等的纯循环小数,可以用分数 $\frac xy$ 表示,其中 $1≤x≤n,1≤y≤m$,且 $x,y$是整数.一个数是纯循环的,当且仅当其可以写成以下形式: $a.\dot{c_1} c_2…

$n \leq 1e9,m \leq 1e9,k \leq 2000$,求$k$进制下$\frac{x}{y}$有多少种不同的纯循环数取值,$1 \leq x \leq n,1 \leq y \leq m$.纯循环数是指小数点后直接就开始循环,整数也算. 与上个题的丑陋相比这个题不知道美到哪里去..虽然自己没想出来. 提示说了,出现相同余数时有纯循环.假设循环节是$l$,那么$xk^l$和$x$除$y$会得到相同余数--同余!$xk^l \equiv x (\mod y)$.由于题目要互不相同的…

题目传送门:LOJ #2085. 两个月之前做的傻题,还是有必要补一下博客. 题意简述: 求分子为不超过 \(n\) 的正整数,分母为不超过 \(m\) 的正整数的所有互不相等的分数中,有多少在 \(k\) 进制下的纯循环小数. 题解: 设分子为 \(x\),分母为 \(y\). 首先,因为要求的是互不相等的分数,取最简分数,即 \(x\perp y\). 其次,要求是纯循环小数,考虑竖式除法的过程,可以发现 \(\displaystyle\frac{x}{y}\) 在 \(k\) 进制下纯循环…

传送门. 题解 感觉这题最难的是第一个结论. x/y首先要互质,然后如果在10进制是纯循环小数,不难想到y不是2.5的倍数就好了. 因为十进制下除以2和5是除得尽的. 必然会多出来的什么东西. 如果是k进制,可以类比得gcd(y,k)=1. 证明: 假设纯循环的位数是l 则\(x*k^l\equiv x(mod~y)\) \(k^l\equiv 1(mod~y)\) 要存在l的话,就必须有\(gcd(k,y)=1\),反过来一样. 反演: \(Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}…

题解 我们要求的其实是这个东西= = \(\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n}[(i,j) == 1][(j,k) == 1]\) 然后变一下形 \(\sum_{j = 1}^{n}[(j,k) == 1]\sum_{i = 1}^{n}[(i,j) == 1]\) \(\sum_{j = 1}^{n}[(j,k) == 1]\sum_{i = 1}^{n}\sum_{d|i,j}\mu(d)\) \(\sum_{j = 1}^{n}[(j,k) == 1]\sum_…

P4714 「数学」约数个数和 题意(假):每个数向自己的约数连边,给出\(n,k(\le 10^{18})\),询问\(n\)的约数形成的图中以\(n\)为起点长为\(k\)的链有多少条(注意每个点都有自环) 这样想是做不出来题的. 正常的题意是:询问\(n\)的约数的约数的....(共\(k\)次复读后)约数个数和. 考虑\(f_k(n)\)表示答案. 显然有\(f_{k}(n)=\sum_{d|n}f_{k-1}(d)\) 注意到用数论卷积的形式可以表示为 \[ \mathtt f_k=\…

「NOI2013」树的计数 这什么神题 考虑对bfs重新编号为1,2,3...n,然后重新搞一下dfs序 设dfs序为\(dfn_i\),dfs序第\(i\)位对应的节点为\(pos_i\) 一个暴力是枚举bfs的分层,然后检查合法性. 但是我们注意到一个事情,节点\(i\)与节点\(i-1\)是否在同一层,是不是具有独立性呢? 设\(s_i\)表示\(i\)与\(i+1\)是否在同一层,当\(s_i=1\)时,表示不在同一层. 那么 \(s_1=1\),显然 若区间\([l,r]\)是同层的,…