在统计学中,矩又被称为动差(Moment).矩量母函数(Moment Generating Function,简称mgf)又被称为动差生成函数. 称exp(tξ)的数学期望为随机变量ξ的矩量母函数,记作mξ(t)=E(exp(tξ)). [1] 连续型随机变量ξ的MGF为:mξ(t)=∫exp(tx)f(x)dx,积分区间为(-∞,+∞),f(x)为ξ的概率密度函数. 离散型随机变量ξ的MGF为:mξ(t)=∑exp(tx)p(ξ=x),其中连加号代表对ξ的所有取值连加,p(ξ=x)为ξ的概率分…

高斯分布(Gaussian Distribution)的概率密度函数(probability density function) 对应于numpy中: numpy.random.normal(loc=0.0, scale=1.0, size=None) 参数的意义为: loc:float 此概率分布的均值(对应着整个分布的中心centre) scale:float 此概率分布的标准差(对应于分布的宽度,scale越大越矮胖,scale越小,越瘦高) size:int or tuple of in…

母函数(Generating function)详解 - Tanky Woo 在数学中,某个序列的母函数(Generating function,又称生成函数)是一种形式幂级数,其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息.使用母函数解决问题的方法称为母函数方法. 母函数可分为很多种,包括普通母函数.指数母函数.L级数.贝尔级数和狄利克雷级数.对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数.构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题,因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型. 这里先给出两句…

母函数(Generating function)详解 在数学中,某个序列的母函数(Generating function,又称生成函数)是一种形式幂级数,其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息.使用母函数解决问题的方法称为母函数方法. 母函数可分为很多种,包括普通母函数.指数母函数.L级数.贝尔级数和狄利克雷级数.对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数.构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题,因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型. 这里先给出两句话,不懂的可以等看完这篇…

洛谷题面传送门 PGF 入门好题. 首先介绍一下 PGF 的基本概念.对于随机变量 \(X\),满足 \(X\) 的取值总是非负整数,我们即 \(P(v)\) 表示 \(X=v\) 的概率,那么我们定义 \(X\) 的概率生成函数为 \(F(x)=\sum\limits_{n\ge 0}P(n)x^n\).较一般的生成函数有所不同的是,对于概率生成函数 \(F(1)=1\) 必然成立,因为 \(X\) 取遍所有值的概率之和为 \(1\).此外,\(X\) 的期望 \(E(X)\) 也可表示为 \…

题面 传送门 题解 不知道概率生成函数是什么的可以看看这篇文章,题解也在里面了 //minamoto #include<bits/stdc++.h> #define R register #define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i) #define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i) #define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[…

题面 传送门 给定一个长度为\(L\)的序列\(A\).然后每次掷一个标有\(1\)到\(m\)的公平骰子并将其上的数字加入到初始为空的序列\(B\)的末尾,如果序列B中已经出现了给定序列\(A\),即\(A\)是\(B\)的子串,则停止, 求序列\(B\)的期望长度.\(L ≤ 10^5\) 题解 不知道概率生成函数是什么的可以看看这篇文章,题解也在里面了 //minamoto #include<bits/stdc++.h> #define R register #define fp(i,a…

生成函数 多项式 形如$\sum_{i=0}^{n}a_i x^i$的代数式称为n阶多项式 核函数 {ai}的核函数为f(x),它的生成函数为sigma(ai*f(i)*x^i) 生成函数的加减 {ai}{bi}的生成函数为A(x),B(x) {ai+/-bi}的生成函数为A(x)+/-B(x) 生成函数的乘法 {ai}{bi}的卷积的生成函数是A(x)B(x) 普通生成函数 $A(x)=\sum a_i x^i$ 指数型生成函数 $A(x)=\sum \frac{a_i x^i}{i!}$ 特…

看了jcvb的WC2015交流课件.虽然没懂后面的复合逆部分,但生成函数感觉受益良多. 指数生成函数 集合中大小为 i 的对象的权值是 \( a_i \) ,该集合的生成函数是 \( \sum\limits_{i>=0} \frac{a_i}{i!} x^i \) 一个重要式子: \( \sum\limits_{i=0}^{\infty} \frac{A^i}{i!} = e^A \) .其中 A 可以是一个多项式. 对于有标号对象的计数.可以“拼接”,即 “大小为 i 的集合的带标号方案” 与…

[题解]歌唱王国(概率生成函数+KMP)+伦讲的求方差 生成函数的本质是什么呀!为什么和It-st一样神 设\(f_i\)表示填了\(i\)个时候停下来的概率,\(g_i\)是填了\(i\)个的时候不停下的来的概率,规定\(f_0=g_0=1\) 两个生成函数是 \[ G(x)=\sum g(i)x^i \\ F(x)=\sum f(i)x^i \] 可以得到一些关系: 在后面随意加上一个字符 \[ xG(x)+1=F(x)+G(x) \] 直接强行接上原串: \[ x^LG(x)(\dfrac…