【题解】歌唱王国(概率生成函数+KMP)+伦讲的求方差

【题解】歌唱王国(概率生成函数+KMP)+伦讲的求方差

生成函数的本质是什么呀！为什么和It-st一样神

设\(f_i\)表示填了\(i\)个时候停下来的概率，\(g_i\)是填了\(i\)个的时候不停下的来的概率，规定\(f_0=g_0=1\)

两个生成函数是

\[G(x)=\sum g(i)x^i
\\
F(x)=\sum f(i)x^i
\]

可以得到一些关系：

• 在后面随意加上一个字符

  \[xG(x)+1=F(x)+G(x)
  \]

• 直接强行接上原串：

  \[x^LG(x)(\dfrac 1 {\sigma})^L
  \]

  此时他一定会停止，但是停止的概率是多大呢？

  可以发现，假如这个字符串没有BORDER(不存在前缀可以等于等长的后缀)，\(F(x)\)和\(G(x)\)是独立的，但是有BORDER的时候怎么办呢？

  由于\(f_i\)代表在填出来的字符串第\(i\)位时停下的概率，所以此时填出来的字符串尾巴的情况是确定的，由于存在BORDER，我们就不用直接强行接上\(L\)那么长的串，可能到一半就填出来了，不难发现就是

  \[x^LG(x)(\dfrac 1 {\sigma})^L=\sum [i\in B](\dfrac 1 {\sigma})^{L-i}x^{L-i}F(x)
  \]

有了这些关系怎么办呢？我们知道，\(E(X)=\sum i\times P(X=i)\)

所以对\(F(x)\)求导，指数都到系数里面来了，所以代入\(x=1\)就得到了\(E(X)\)。

答案就是\((F(1))'\)

我们之前有一些等量关系，所以

\[F(x)'+G(x)'=(xG(x)+1'=xG(x)'+G(x)
\]

所以

\[F(1)'=G(1)
\]

代入第二个式子

\[G(1)=\sum[i \in B]\sigma^iF(1)
\]

显然有概率的规范性\(F(1)=1\)

所以答案就是

\[G(1)=\sum[i \in B]\sigma^i
\]

用KMP求BORDER就是的

//@winlere
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;  typedef long long ll;
inline int qr(){
      register int ret=0,f=0;
      register char c=getchar();
      while(c<48||c>57)f|=c==45,c=getchar();
      while(c>=48&&c<=57) ret=ret*10+c-48,c=getchar();
      return ret;
}

const int maxn=2e5+5;
const int mod=10000;
int data[maxn],p[maxn],fac[maxn];
int n,m;

inline int ksm(const int&base ,const int&p){
      register int ret=1;
      for(register int t=p,b=base%mod;t;t>>=1,b=b*b%mod)
	    if(t&1) ret=1ll*ret*b%mod;
      return ret;
}

inline void getborder(){
      memset(p,0,sizeof p);
      for(register int t=2,k;t<=n;++t){
	    k=p[t-1];
	    while(k&&data[k+1]!=data[t]) k=p[k];
	    if(data[k+1]==data[t])++k;
	    p[t]=k;
      }
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
      freopen("in.in","r",stdin);
      //freopen("out.out","w",stdout);
#endif
      m=qr();
      fac[0]=1;
      for(register int t=1;t<=200000;++t) fac[t]=1ll*fac[t-1]*m%mod;
      int T=qr();
      while(T--){
	    n=qr();
	    for(register int t=1;t<=n;++t) data[t]=qr();
	    getborder();
	    int ans=0;
	    for(register int t=n;t;t=p[t])
		  ans=(ans+fac[t])%mod;
	    printf("%04d\n",ans);
      }
      return 0;
}

如何算方差，咕咕咕先。