一.理解什么是位运算 程序中的所有内容在计算机内存中都是以二进制的形式储存的(即:0或1),简单来说位运算就是直接对在内存中的二进制数的每位进行运算操作. 二.学习前先了解一下有哪些运算,运算符都怎么使用的,如下图所示. 对于上面的运算符做个基础的认识,接下来我们详细看一下每个运算符到底该怎么使用呢? 三.在讲位运算之前先讲一下进制转换,方便下文讲解位运算. 2进制.8进制.16进制.32进制.64进制等转换成10进制计算方法我得出一个公式:(^表示次方,如:2^2,即2的2次方,8^5即8的5…

问题 给出两个幂级数 \(f,g\) ,求 \[ h=\sum _i\sum _jx^{i\oplus j}f_ig_j \] 其中 \(\oplus\) 是可拆分的位运算. 算法 由于位运算具有独立性,可以一位位地考虑. 设 \(f=(f_0,f_1)\) ,即最高位为 0 的部分和最高位为 1 的部分.我们希望把这个卷积转化为点积来做.即 \[ T\begin{bmatrix}f_0 \\f_1 \end{bmatrix}\cdot T\begin{bmatrix}g_0 \\g_1 \en…

Dirichlet 卷积学习笔记 数论函数:数论函数亦称算术函数,一类重要的函数,指定义在正整数集上的实值或复值函数,更一般地,也可把数论函数看做是某一整数集上定义的函数. 然而百科在说什么鬼知道呢,感性理解一下,数论函数的定义域是正整数,值域也是正整数. 数论函数的相关运算与性质 设有数论函数\(\bf{h,f,g}\). 加法运算 \((\mathbf {f}+\mathbf {g})(n)=\mathbf {f}(n)+\mathbf {g}(n)\) 即每项相加 数乘运算 \((x\ma…

目录 @0 - 参考资料@ @1 - 异或卷积概念及性质@ @2 - 快速沃尔什正变换(异或)@ @3 - 快速沃尔什逆变换(异或)@ @4 - 与卷积.或卷积@ @5 - 参考代码实现@ @6 - 关于 FMT(快速莫比乌斯变换)@ @7 - 例题与应用@ @dp 优化@ @子集卷积@ @卷积逆运算@ @0 - 参考资料@ yyb 的讲解(FWT) popoqqq 的讲解(FWT) zjp 的讲解(FMT) Dance-Of-Faith 的讲解(FMT) @1 - 异或卷积概念及性质@ 现在已…

关于位运算,网上有挺多好的博客介绍过,我就不多解释了 这里只记录一个小例子,是在理解位运算时候写的,帮助自己加深一下印象,做个笔记mark一下 具体场景 摇骰子游戏 1每个骰子有6个点,1-3为小,4-6为大,[1,3,5]为单,[2,4,6]为双 2每次扔3个骰子 问题:如果把每场结果设成实体对象,那么该如何设计呢? 其他的属性就不过多纠结,主要在3个骰子这里 不管是把骰子设成复杂对象,或者是把每个骰子的大小单双分开记下来,都会显得很麻烦 如果使用位运算,就会变得简单许多,代码如下: publ…

目录 信号, 集合, 多项式, 以及卷积性变换 卷积 卷积性变换 傅里叶变换与信号 引入: 信号分析 变换的基础: 复数 傅里叶变换 离散傅里叶变换 FFT 与多项式 \(n\) 次单位复根 消去引理, 折半引理与求和引理 重新定义 多项式的表示 快速傅里叶变换FFT 通过 FFT 在单位复数根处插值 FFT的速度优化与迭代实现 炸精现场与 NTT 原根 NTT 任意模数 NTT 卷积状物体与分治 FFT FWT 与位运算卷积 FWT 与 \(\text{or}\) 卷积 FWT 与 \(\te…

一个数学不好的菜鸡的快速沃尔什变换(FWT)学习笔记 曾经某个下午我以为我会了FWT,结果现在一丁点也想不起来了--看来"学"完新东西不经常做题不写博客,就白学了 = = 我没啥智商 ,网上的FWT博客我大多看不懂,下面这篇博客是留给我我再次忘记FWT时看的,所以像我一样的没智商选手应该也能看懂!有智商选手更能看懂咯! (写得非常匆忙,如有任何错误请在评论区指正!TAT) 什么是FWT FWT是用来快速做位运算卷积的.位运算卷积是什么?给出两个数组\(A\)和\(B\)(长度相等且是2…

FWT快速沃尔什变换学习笔记 1.FWT用来干啥啊 回忆一下多项式的卷积\(C_k=\sum_{i+j=k}A_i*B_j\) 我们可以用\(FFT\)来做. 甚至在一些特殊情况下,我们\(C_k=\sum_{i*j=k}A_i*B_j\)也能做(SDOI2015 序列统计). 但是,如果我们把操作符换一下呢? 比如这样? \(C_k=\sum_{i|j=k}A_i*B_j\) \(C_k=\sum_{i\&j=k}A_i*B_j\) \(C_k=\sum_{i\wedge j=k}A_i*B_…

\(FWT\)--快速沃尔什变化学习笔记 知识点 \(FWT\)就是求两个多项式的位运算卷积.类比\(FFT\),\(FFT\)大多数求的卷积形式为\(c_n=\sum\limits_{i+j=n}a_i*b_j\)的形式.而\(FWT\)则求的卷积形式为\(c_n=\sum\limits_{i\oplus j=n}\),如何做这个玩意呢,我们还是考虑分治.把它分成两个部分,一个部分是\(A_0\),一部分是\(A_1\),分别表示的是最高位为\(0/1\),然后对于与卷积来说\(f(A)=(f…

证明均来自xht37 的洛谷博客 作用 在 \(OI\) 中,\(FWT\) 是用于解决对下标进行位运算卷积问题的方法. \(c_{i}=\sum_{i=j \oplus k} a_{j} b_{k}\) 其中 \(\oplus\) 是二元位运算中的一种. 实现 \(or\) 运算 构造 \(fwt[a]_i = \sum_{j|i=i} a_j\) 则 \(\begin{aligned} fwt[a] \times fwt[b] &= \left(\sum_{j|i=i} a_j\right)…