卡特兰数 参考博客 介绍 卡特兰数为组合数学中的一种特殊数列,用于解决一类特殊问题 设\(f(n)\)为卡特兰数的第n项 其通项公式为 \[f(n)=\frac{2n\choose n}{n+1} \] 关于它的证明 当然也有递推式 \[f(n)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(i)\ast f(n-i-1) \] 最常用的则是对于通项的变形式 \[f(n)={2n\choose n}-{2n\choose n-1} \] 在此给出一较易的证明 例题 我们来看一道例题洛谷 p1…

洛谷 这题一看就是卡塔兰数. 因为\(cnt[1] \leq cnt[0]\),很显然的卡塔兰嘛! 平时我们推导卡塔兰是用一个边长为n的正方形推的, 相当于从(0,0)点走到(n,n)点,向上走的步数不能超过向右走,求出的方案数就是卡塔兰数. 即总方案\(-\)不合法方案 -> \(\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}\). 这题只是改成了从(0,0)走到(n,m)点,那么就是:\(C^{m+n}_{n}-C^{m-1}_{m+n}\). 因为涉及到除法取模,所以要求逆元. 刚刚好201…

BZOJ原题链接 洛谷原题链接 可以将\(1\)和\(0\)的个数和看成是\(x\)轴坐标,个数差看成\(y\)轴坐标. 向右上角走,即\(x\)轴坐标\(+1\),\(y\)轴坐标\(+1\),表示这一位为\(1\). 向右下角走,即\(x\)轴坐标\(+1\),\(y\)轴坐标\(-1\),表示这一位为\(1\). 若不考虑题目中的限制,那么这就相当于从\((0, 0)\)出发,走\(n + m\)步到达\((n + m, n - m)\). 相当于从\(n + m\)步中选出\(n\)步向…

题目戳这里 一句话题意 求\(C_{m+n}^{m}\)-\(C_{m+n}^{m-1}\) Solution 巨说这个题目很水 标签居然还有字符串? 但是我还不很会用逆元真的太菜了,还好此题模数P为素数,根据费马小定理 x的P-2次方 就是x在P的意义下的逆元.只需要求出逆元然后就可以直接乘了. 貌似是有点水 Coding #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const long long P = 20100403; long long…

P1641 [SCOI2010]生成字符串 题目描述 lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务,任务需要他把n个1和m个0组成字符串,但是任务还要求在组成的字符串中,在任意的前k个字符中,1的个数不能少于0的个数.现在lxhgww想要知道满足要求的字符串共有多少个,聪明的程序员们,你们能帮助他吗? 输入输出格式 输入格式: 输入数据是一行,包括2个数字n和m 输出格式: 输出数据是一行,包括1个数字,表示满足要求的字符串数目,这个数可能会很大,只需输出这个数除以20100403的余数 思路:模…

题目 传送门:QWQ 分析 不想画图. https://www.luogu.org/problemnew/solution/P1641 好神仙的题啊. 代码 // luogu-judger-enable-o2 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; ; ; ll fac[maxn]; int exgcd(ll& x,ll& y,ll a,ll b){ ;y=;} else{ exgc…

Description 有$N$ 个 $1$ 和 $M$ 个 $0$ 组成的字符串, 满足前 $k$ 个字符中 $1$ 的个数不少于 $0$ 的个数. 求这样字符串的个数. $1<=M <=N<=1e6$ Solution 正难则反, 很难直接求出满足条件的字符串的个数, 就从反面考虑. $N$个$1$ 和 $M$ 个 $0$ 组成的字符串总共有 $C(N + M, N)$ 个, 再减去不满足条件的 字符串的个数就能够得到答案了. 不满足条件的字符串个数为$C(N+M,N+1)$ 证明与…

P1976 鸡蛋饼 题目背景 Czyzoiers 都想知道小 x 为什么对鸡蛋饼情有独钟.经过一番逼问,小 x 道出 了实情:因为他喜欢圆. 题目描述 最近小 x 又发现了一个关于圆的有趣的问题:在圆上有2N 个不同的点,小 x 想用 N 条线段把这些点连接起来(每个点只能连一条线段), 使所有的线段都不想交,他想知道这样的连接方案有多少种? 输入输出格式 输入格式: 有且仅有一个正整数 N 输出格式: 要求的方案数(结果 mod 100000007). 输入输出样例 输入样例#1: 24 输出…

P1722 矩阵 II 题目背景 usqwedf 改编系列题. 题目描述 如果你在百忙之中抽空看题,请自动跳到第六行. 众所周知,在中国古代算筹中,红为正,黑为负…… 给定一个1*(2n)的矩阵(usqwedf:这不是一个2n的队列么),现让你自由地放入红色算筹和黑色算筹,使矩阵平衡[即对于所有的i(1<=i<=2n),使第1~i格中红色算筹个数大于等于黑色算筹] 问有多少种方案满足矩阵平衡. 见样例解释. 输入输出格式 输入格式: 正整数 n 输出格式: 方案数t对100取模 输入输出样例…

神仙.... 当时以为是,$x$代表$1$,$y$代表$0$,所以不能过$y=x$的路径数...结果不会... 然后康题解...ヾ(｡｀Д´｡)竟然向右上是$1$,向右下是$0$.... 所以现在就是不能过$y=-1$: 所以我们可以这样想:如果有非法路径的话,那么就把他第一次与$y=-1$交点与起点之间的路径沿$y=-1$翻转: 然后现在非法路径的条数就是从$(0,-2)$到$(n+m,n-m)$路径数量,把他拿所有路径的减掉就行了. #include<cstdio> #include<…