题目大意:给定一个方程$X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}+...+X_{n}=M$,$\forall X_{i}<=A_{i} (i<=n1)$ $\forall X_{i}>=A_{i} (n1<i<=n2)$在保证的合法正整数解个数n1<=8,n2<=8 一波三折的数学题,调了半天才发现我的Lucas是错的,但它竟然通过了洛谷那一道模板题的全部数据.... 后面n1~n2的部分很好处理,直接用M减掉这个部分就行了 因为是求正整数解,所以这个组合数…

题目链接:BZOJ - 3129 题目分析 使用隔板法的思想,如果没有任何限制条件,那么方案数就是 C(m - 1, n - 1). 如果有一个限制条件是 xi >= Ai ,那么我们就可以将 m 减去 Ai - 1 ,相当于将这一部分固定分给 xi,就转化为无限制的情况了. 如果有一些限制条件是 xi <= Ai 呢?直接来求就不行了,但是注意到这样的限制不超过 8 个,我们可以使用容斥原理来求. 考虑容斥:考虑哪些限制条件被违反了,也就是说,有哪些限制为 xi <= Ai 却是 xi…

题链: http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3129 题解: 容斥,扩展Lucas,中国剩余定理 先看看不管限制,只需要每个位置都是正整数时的方案数的求法.假设有 N 个未知数,加起来的和为 M.转化一下问题变为:"小球分配" 有 M 个相同的小球,放在 N 个盒子里,且每个盒子至少有一个的方案数. 那么方案数为 ${C}_{M-1}^{N-1}$怎么理解这个式子呢?"插隔板法".使 M个小球放在一排,考虑…

如果没有限制,答案直接用隔板法C(m-1,n-1) 对于>=x的限制,我们直接在对应位置先放上x-1即可,即m=m-(x-1) 对于<=x的限制,由于限制很小我们可以利用容斥原理将它转化为上面的>=x的限制 即减去1个不满足的 加上2个不满足的 减去3个不满足的 …… 之后就是组合数的计算,对于一个非常大的模数,我们可以将它唯一分解,之后CRT还原即可 但是我们有可能不存在逆元,数据范围不允许我们递推计算组合数 我们知道没有逆元当且仅当(a,p)不互素,我们可以将阶乘分成两部分:互素和不…

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3129 如果没有Ai的限制,就是隔板法,C(m-1,n-1) >=Ai 的限制:m减去Ai <=Ai 的限制:容斥原理,总数- 至少有一个数>Ai + 至少有两个数>Ai - …… 计算组合数取模,模数虽然很大也不是质数,但是质因数分解后 最大的才 10201,所以用扩展卢卡斯即可 注意在用扩展卢卡斯计算 阶乘的时候,要预处理 不包含当前质因子的阶乘,否则会TLE 3个点 #inclu…

3129: [Sdoi2013]方程 Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 582  Solved: 338[Submit][Status][Discuss] Description 给定方程    X1+X2+. +Xn=M我们对第l..N1个变量进行一些限制:Xl < = AX2 < = A2Xn1 < = An1我们对第n1 + 1..n1+n2个变量进行一些限制:Xn1+l > = An1+1Xn1+2 > =…

[BZOJ3129][SDOI2013]方程(容斥,拓展卢卡斯定理) 题面 BZOJ 洛谷 题解 因为答案是正整数,所先给每个位置都放一个就行了,然后\(A\)都要减一. 大于的限制和没有的区别不大,提前给他\(A_i\)个就好了. 假如没有小于的限制的话,那么就是经典的隔板法直接算答案. 如果提前给完之后,还剩\(M\)个球,要放进\(n\)个盒子,答案就是\(\displaystyle{M+n-1\choose n-1}\) 然而有一个小于的限制很烦人.发现数量很少,那么直接爆枚子集,强制一…

(上不了p站我要死了,侵权度娘背锅) Description 一年一度的圣诞节快要来到了.每年的圣诞节小E都会收到许多礼物,当然他也会送出许多礼物.不同的人物在小E 心目中的重要性不同,在小E心中分量越重的人,收到的礼物会越多.小E从商店中购买了n件礼物,打算送给m个人 ,其中送给第i个人礼物数量为wi.请你帮忙计算出送礼物的方案数(两个方案被认为是不同的,当且仅当存在某 个人在这两种方案中收到的礼物不同).由于方案数可能会很大,你只需要输出模P后的结果. Input 输入的第一行包含一个正整数…

拓展Lucas+容斥原理 #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<algorithm> #include<cstring> #include<vector> #include<cmath> #include<queue> #define MAXN 10000+10 #define INF 0x7f7f7f7f #define LINF 0x7f7f7f7f7f7f7f7f #…

BZOJ_3129_[Sdoi2013]方程_组合数学+容斥原理 Description 给定方程     X1+X2+. +Xn=M 我们对第l..N1个变量进行一些限制: Xl < = A X2 < = A2 Xn1 < = An1 我们对第n1 + 1..n1+n2个变量进行一些限制: Xn1+l > = An1+1 Xn1+2 > = An1+2 Xnl+n2 > = Anl+n2 求:在满足这些限制的前提下,该方程正整数解的个数. 答案可能很大,请输出对p取模…

拓展Lucas定理解决大组合数取模并且模数为任意数的情况 大概的思路是把模数用唯一分解定理拆开之后然后去做 然后要解决的一个子问题是求模质数的k次方 将分母部分转化成逆元再去做就好了 这里贴一份别人的板子 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; + ; typedef long long LL; LL Pow(LL n, LL m, LL mod) { LL ans = ; ) { ) ans = (LL)ans * n % mod; n =…

求\(C_n^m \mod p\),写得太丑了qwq. 第一次写拓展Lucas竟然是在胡策的时候qwq写了两个半小时啊_(:з」∠)还写挂了一个地方qwq 当然今天胡策我也是第一次写中国剩余定理(ˇˍˇ) ↑平时懒得动手的后果→→ #include<cmath> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; i…

拓展Lucas是解决大组合数取模非质数(尤其是含平方因子的合数)问题的有力工具... 首先对模数质因数分解,把每个质因子单独拎出来处理答案,然后用中国剩余定理(excrt)合并 问题转化为,对于每个质因子p,求$C_{n}^{m}(mod\;p^k)$ 把$C_{n}^{m}$展开成$\frac{n!}{m!(n-m)!}$,发现上下的阶乘里,都可能有质因子p,把它们从阶乘里提取出来,额外求出$n!$里p的数量,减掉$m!$和$(n-m)!$里p的数量,再乘回答案里 剩余的部分就是$n!$,$m…

Description 一年一度的圣诞节快要来到了.每年的圣诞节小E都会收到许多礼物,当然他也会送出许多礼物.不同的人物在小E 心目中的重要性不同,在小E心中分量越重的人,收到的礼物会越多.小E从商店中购买了n件礼物,打算送给m个人 ,其中送给第i个人礼物数量为wi.请你帮忙计算出送礼物的方案数(两个方案被认为是不同的,当且仅当存在某 个人在这两种方案中收到的礼物不同).由于方案数可能会很大,你只需要输出模P后的结果. Input 输入的第一行包含一个正整数P,表示模: 第二行包含两个整整数n和…

lucas及其拓展 模板题 洛谷 P4720 本文侧向结论和代码实现, 推导请转至lucas定理及其拓展的推导 https://blog.csdn.net/yuyilahanbao/article/details/100568285 lucas定理 请阅读lucas定理 https://blog.csdn.net/yuyilahanbao/article/details/100550317 拓展lucas的结论 (nm)≡pk1−k2−k3×b1×b2−1×b3−1×cu1−u2−u3×k1!k…

题目 给定方程 X1+X2+. +Xn=M 我们对第l..N1个变量进行一些限制: Xl < = A X2 < = A2 Xn1 < = An1 我们对第n1 + 1..n1+n2个变量进行一些限制: Xn1+l > = An1+1 Xn1+2 > = An1+2 Xnl+n2 > = Anl+n2 求:在满足这些限制的前提下,该方程正整数解的个数. 答案可能很大,请输出对p取模后的答案,也即答案除以p的余数. 输入格式 输入含有多组数据,第一行两个正整数T,p.T表示…

没有限制的话算一个组合数就好了.对于不小于某个数的限制可以直接减掉,而不大于某个数的限制很容易想到容斥,枚举哪些超过限制即可. 一般情况下n.m.p都是1e9级别的组合数没办法算.不过可以发现模数已经被给出,并且这些模数的最大质因子幂都不是很大,那么扩展lucas就可以了. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cstring>…

题面 传送门 题解 为啥全世界除了我都会\(exLucas\)啊--然而我连中国剩余定理都不会orz 不知道\(exLucas\)是什么的可以去看看yx巨巨的这篇博客->这里 好了现在我们就解决了计算组合数的问题了,接下来问题就在于怎么计算了 首先如果是强制大于等于很简单,设条件分别为\(x_i\geq A_i\),那么方案数就是\({m-\sum(A_i-1)-1\choose n-1}\),用隔板法就能证明 然而现在前面一部分是小于等于,这好办,我们把它化成\(x_i\geq A_i+1\)…

非常好的一道数学题,考察了大量数论和组合数学的知识 在做本题之前强烈建议先完成下列两个背景知识: ①: bzoj 2142礼物 因为本题的一部分数据需要利用到拓展卢卡斯定理,而礼物是拓展卢卡斯定理的裸题,先做礼物是一个比较好的选择 有困难戳这里https://blog.csdn.net/lleozhang/article/details/82884768 ②: CF451E 本题的核心思想和CF451E完全相同,CF451E稍简单一些,所以先理解这里的思想再做本题会发现难度降了不少 有困难戳这里…

...最近考了一道数学题.是典型的隔板问题. P.S.最近八中oj上面没有系统地刷过题 题面可以直接转化为m个球分到n个箱子,每个箱子至少放1个,前n1个箱子的球数必须满足全部小于等于A[i],接着n2个必须大于等于A[i],剩下随意,问方案. 在没有约束时,答案自然是C(M-1,N-1),这个用插板法很好想>0< 考虑第二种约束,我们只要先提前在篮子里钦定A[i]-1个球,那么剩下随便放就一定能满足了. 对付第一种约束,我们用容斥原理来实现.所有方案数-至少有一个错误+至少两个错误-至少三个…

题目链接:BZOJ - 3198 题目分析 题目要求求出有多少对泉有恰好 k 个值相等. 我们用容斥来做. 枚举 2^6 种状态,某一位是 1 表示这一位相同,那么假设 1 的个数为 x . 答案就是 sigma((-1)^(x - k) * AnsNow * C(x, k)) .注意 x 要大于等于 k. 对于一种状态,比如 10110,就是要保证第 1, 3, 4 个值相同. 这些值相同的对数怎么来求呢?使用Hash. 将这些位上的值 Hash 成一个数,然后枚举  [1, i] , 每次求…

3123: [Sdoi2013]森林 题意:一个森林,加边,询问路径上k小值.保证任意时刻是森林 LCT没法搞,树上kth肯定要用树上主席树 加边?启发式合并就好了,小的树dfs重建一下 注意 测试点编号不是数据组数!!! 加边的时候要更新邻接链表啊,并且fa要清空 并查集维护size一定初始化1 好了现在我要填报名表了 #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algor…

3198: [Sdoi2013]spring 题意:n个物品6个属性,求有多少不同的年份i,j满足有k个属性对应相等 一开始读错题了,注意是对应相等 第i个属性只能和第i个属性对应 容斥一下 \[ 恰好k个相等=\ge k个相等 \ -\ \ge k+1个相等\ +\ \ge k+2个相等 \ ... \] \(2^6\)枚举哪些属性对应相等,哈希一下计算这些属性相等的个数,这时候其他是任意的因为是\(\ge\) 这样还不行,容斥系数还要乘上\(\binom{i}{k}\),因为两个k+1个属性…

Lucas定理 在『组合数学基础』中,我们已经提出了\(Lucas\)定理,并给出了\(Lucas\)定理的证明,本文仅将简单回顾,并给出代码. \(Lucas\)定理:当\(p\)为质数时,\(C_n^m\equiv C_{n\ mod\ p}^{m\ mod\ p}*C_{n/p}^{m/p}(mod\ p)\). 在计算模域组合数时,如果模数较小,那么就可以尝试使用\(Lucas\)定理来递归求解,其时间复杂度为\(O(plog_p\min(n,m))\). \(Code:\) inlin…

题目链接 首先\(C(n,m)\)为奇数当且仅当\(n\&m=m\). 简要证明: 因为是\(mod\ 2\),考虑Lucas定理. 在\(mod\ 2\)的情况下\(C(n,m)\)最后只会化成4种情况:\(C(0,1),C(0,0),C(1,0),C(1,1)\). 后三种情况都是1,\(C(0,1)\)不存在(=0).所以如果\(C(n,m)mod\ 2\)为偶数,那么在Lucas的过程中一定出现了\(C(0,1)\). \(mod\ 2\)的过程容易想到位运算. 由\(C(n,m)mod…

2142: 礼物 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 259 MBSubmit: 1313  Solved: 541[Submit][Status][Discuss] Description 一年一度的圣诞节快要来到了.每年的圣诞节小E都会收到许多礼物,当然他也会送出许多礼物.不同的人物在小E心目中的重要性不同,在小E心中分量越重的人,收到的礼物会越多.小E从商店中购买了n件礼物,打算送给m个人,其中送给第i个人礼物数量为wi.请你帮忙计算出送礼物的方案数(两个方…

题目传送门:洛谷P3307.这题在bzoj上是权限题. 题意简述: 这题分为两个部分: ① 有一些珠子,每个珠子可以看成一个无序三元组.三元组要满足三个数都在$1$到$m$之间,并且三个数互质,两个珠子不同当且仅当这个三元组不同.计算有多少种不同的珠子. ② 把这些珠子串成一个环,要满足相邻的珠子不同.两个环不同当且仅当旋转任意角度后仍然不同.计算有多少种不同的环. 题解: 分成两部分做. 第一部分: 考虑计算三元组的个数,转无序为有序,再去重. 答案=(三个都不同的有序三元组方案)/6+(两个…

4403: 序列统计 题目连接: http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4403 Description 给定三个正整数N.L和R,统计长度在1到N之间,元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量.输出答案对10^6+3取模的结果. Input 输入第一行包含一个整数T,表示数据组数.第2到第T+1行每行包含三个整数N.L和R,N.L和R的意义如题所述. Output 输出包含T行,每行有一个数字,表示你所求出的答案对106+3取模的结果…

[题目链接] http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4403 [题目大意] 给定三个正整数N.L和R,统计长度在1到N之间, 元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量.输出答案对10^6+3取模的结果. [题解] 我们用插板法,在设m=R-L+1,答案等价于在n+m个球里面拿出m个球变成插板, 那么答案就是拿掉这些插板之后的分堆. [代码] #include <cstdio> #include <algorithm> us…

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2982 少加了特判n<m return 0就wa了QAQ lucas定理:C(n, m)%p=(C(n%p, m%p)*C(n/p, m/p))%p 等英语好一点去wiki看一下证明吧QAQhttp://en.wikipedia.org/wiki/Lucas%27_theorem 然后这是网上搜到的关于lucas的一些内容 首先给出这个Lucas定理: A.B是非负整数,p是质数.AB写成p进制:A…