「算法笔记」旋转 Treap

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「算法笔记」旋转 Treap

一.引入随机数据中,BST 一次操作的期望复杂度为 \(\mathcal{O}(\log n)\). 然而,BST 很容易退化,例如在 BST 中一次插入一个有序序列,将会得到一条链,平均每次操作的复杂度为 \(\mathcal{O}(n)\).我们称这种左右子树大小相差很大的 BST 是"不平衡"的. 有很多方法可以维持 BST 的平衡,从而产生了各种平衡树. Treap 就是常见平衡树中的一种. 二.简介满足 BST 性质且中序遍历为相同序列的二叉查找树是不唯一的.这些二叉查找…

「算法笔记」快速数论变换（NTT）

一.简介前置知识:多项式乘法与 FFT. FFT 涉及大量 double 类型数据操作和 \(\sin,\cos\) 运算,会产生误差.快速数论变换(Number Theoretic Transform,简称 NTT)在 FFT 的基础上,优化了常数及误差. NTT 其实就是把 FFT 中的单位根换成了原根. NTT 解决的是多项式乘法带模数的情况,可以说有些受模数的限制,多项式系数应为整数. 二.原根与 NTT 「算法笔记」基础数论 2 中提及了原根的部分内容. 对于质数 \(p\),若…

「算法笔记」树形 DP

一.树形 DP 基础又是一篇鸽了好久的文章--以下面这道题为例,介绍一下树形 DP 的一般过程. POJ 2342 Anniversary party 题目大意:有一家公司要举行一个聚会,一共有 \(n\) 个员工,其中上下级的关系通过树形给出.每个人都不想与自己的直接上级同时参加聚会.每个员工都有一个欢乐度,举办聚会的你需要确定邀请的员工集合,使得它们的欢乐度之和最大,并且没有一个受邀的员工需要与他的直接上级共同参加聚会.\(n\leq 6000\). Solution: 考虑一个子树往上转…

「算法笔记」2-SAT 问题

一.定义 k-SAT(Satisfiability)问题的形式如下: 有 \(n\) 个 01 变量 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\),另有 \(m\) 个变量取值需要满足的限制. 每个限制是一个 \(k\) 元组 \((x_{p_1},x_{p_2},\cdots,x_{p_k})\),满足 \(x_{p_1}\oplus x_{p_2}\oplus\cdots\oplus x_{p_k}=a\).其中 \(a\) 为 \(0\) 或 \(1\),\(\oplus\) 是某种二元…

「算法笔记」Polya 定理

一.前置概念接下来的这些定义摘自置换群 - OI Wiki. 1. 群若集合 \(s\neq \varnothing\) 和 \(S\) 上的运算 \(\cdot\) 构成的代数结构 \((S,\cdot)\) 满足一下性质: 封闭性:\(\forall a,b\in S,a\cdot b\in S\). 结合律:\(\forall a,b,c\in S,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\). 单位元:\(\exists e\in S,\forall…

「算法笔记」Splay

一.简介 Splay(伸展树)是平衡树中的一种.它通过不断将某个节点旋转到根节点的位置,使整棵树仍满足 BST 的性质,并且保持平衡而不至于退化为链. 频繁访问的节点会被移动到离根节点较近的位置,进而获得更快的访问速度. 可以通过均摊复杂度证明,\(n\) 个点,进行 \(m\) 次 Splay 操作,最终的时间复杂度是 \(\mathcal{O}((n+m)\log n)\).证明. 二.基本操作一些维护的信息: \(rt\) \(tot\) \(fa(x)\) \(lc(x)\) \(rc…

「学习笔记」 FHQ Treap

FHQ Treap FHQ Treap (%%%发明者范浩强年年NOI金牌)是一种神奇的数据结构,也叫非旋Treap,它不像Treap zig zag搞不清楚(所以叫非旋嘛),也不像Splay完全看不懂,而且它能完成Treap与Splay能完成的所有事,代码短,理解也容易. 基本操作 FHQ Treap和Treap很像,都是给每个节点一个随机的权值,使它满足堆的性质.建议先了解Treap(没必要实现,懂得原理即可).不过,如果有两个节点值相同,FHQ Treap不会用一个数组cnt记录个数,而是…