[转载请注明出处]http://www.cnblogs.com/mashiqi 2017/06/25 设$A$是$n$维线性空间$V$上的线性变换,它的特征值与相应的代数重数分别为$\lambda_i,m_i~(1=1,\cdots,r)$.为简化阅读,我们设$K_i = \ker(\lambda_i I - A)^{m_i},~ M_i = \operatorname{Im}(\lambda_i I - A)^{m_i}$.于是有如下结论: \begin{align*} & 1)~ A(K_i…

一.引入 前面已经指出,一切n阶矩阵A可以分成许多相似类.今要在与A相似的全体矩阵中,找出一个较简单的矩阵来作为相似类的标准形.当然以对角矩阵作为标准形最好,可惜不是每一个矩阵都能与对角矩阵相似.因此,急需引入一种较为简单而且对于一般矩阵都可由相似变换得到. 当矩阵A能相似于某对角矩阵时,该对角矩阵就是A的一个Jordan形.而当矩阵A不能相似于对角矩阵时,它必然与一个非对角的Jordan形相似.此时的Jordan形J与对角矩阵的差别也只是在主对角线元素的上邻位有某些元素为1.在这个意义上,Jo…

将学习到什么 本节讨论关于实矩阵的实形式的 Jordan 标准型,也讨论关于复矩阵的另外一种形式的 Jordan 标准型,因为它在与交换性有关的问题中很有用.   实 Jordan 标准型 假设 \(A \in M_n(\mathbb{R})\), 所以任何非实的特征值必定成对共轭出现,由于结任何 \(\lambda \in \mathbb{C}\), 以及所有 \(k=1,2,\cdots\) 我们有 \(\mathrm{rank} \, (A-\lambda I)^k= \mathrm{ra…

本文转载自陈洪葛的博客$,$ 而实际上来自xida博客朝花夕拾$,$ 可惜该博客已经失效 $\mathrm{Jordan}$ 标准形定理是线性代数中的基本定理$,$ 专门为它写一篇长文好像有点多余$:$ 这方面的教材讲义实在是太多了$!$ 一个陈旧的定理还能写出什么新意来呢$?$理由有两个$.$ 第一个原因是我曾经在给学生讲这个定理的时候$,$ 突然发现不知道该怎么启发学生为好$.$ 虽然我知道 $\mathrm{Jordan}$ 标准形定理的很多种证法$,$ 照念几个不在话下$,$ 但是感觉有…

[问题2014A12]  解答 将问题转换成几何的语言: 设 \(\varphi,\psi\) 是 \(n\) 维线性空间 \(V\) 上的线性变换, 满足 \(\varphi\psi=\psi\varphi=0\), \(\mathrm{r}(\varphi)=\mathrm{r}(\varphi^2)\), 求证: \[\mathrm{r}(\varphi+\psi)=\mathrm{r}(\varphi)+\mathrm{r}(\psi).\cdots(1)\] 要证明 (1) 式, 我们…

[问题2014A13]  解答 先引入两个简单的结论. 结论 1  设 \(\varphi\) 是 \(n\) 维线性空间 \(V\) 上的线性变换, 若存在正整数 \(k\), 使得 \(\mathrm{r}(\varphi^k)=\mathrm{r}(\varphi^{k+1})\), 则 \[\mathrm{Im\,}\varphi^k=\mathrm{Im\,}\varphi^{k+1}=\mathrm{Im\,}\varphi^{k+2}=\cdots.\] 结论 1 的证明  对任意…

一.期末考试成绩班级前几名 胡晓波(90).杨彦婷(88).宋卓卿(85).唐指朝(84).陈建兵(83).宋沛颖(82).王昊越(81).白睿(80).韩沅伯(80).王艺楷(80).张漠林(80).张子涵(80) 二.总成绩计算方法 平时成绩根据交作业的次数决定,本学期共交作业12次,10次以上(包括10次)100分,少一次扣10分. 总成绩=平时成绩*20%+期中考试成绩*20%+期末考试成绩*60% 三.最终成绩及人数 最终成绩 人数 A 26 A- 1 B+ 14 B 16 B- 20…

八.(本题10分)  设 $A,B$ 为 $n$ 阶半正定实对称阵, 求证: $AB$ 可对角化. 分析  证明分成两个步骤: 第一步, 将 $A,B$ 中的某一个简化为合同标准形来考虑问题, 这是矩阵理论中常见的技巧; 第二步, 利用半正定阵的三个重要性质 (参考新白皮书的例 8.43.例 8.44 和例 8.45) 来构造合适的相似变换. 以下两种证法分别利用了半正定阵的第一个和第三个重要性质, 其难易度大致相当, 但第三个性质显然更强有力一些. 证明  设 $C$ 为非异实矩阵, 使得 $…

[问题2014A10]  设 \(A\) 为 \(n\) 阶实方阵满足 \(AA'=I_n\) (即 \(A\) 为 \(n\) 阶正交阵), 证明: \[\mathrm{rank}(I_n-A)=\mathrm{rank}\Big((I_n-A)^2\Big).\] 注  请不要用高代 II 中正交阵的正交相似标准形或酉相似标准形来证明.…

0.鸢尾花数据集 鸢尾花数据集作为入门经典数据集.Iris数据集是常用的分类实验数据集,由Fisher, 1936收集整理.Iris也称鸢尾花卉数据集,是一类多重变量分析的数据集.数据集包含150个数据集,分为3类,每类50个数据,每个数据包含4个属性.可通过花萼长度,花萼宽度,花瓣长度,花瓣宽度4个属性预测鸢尾花卉属于(Setosa,Versicolour,Virginica)三个种类中的哪一类. 在三个类别中,其中有一个类别和其他两个类别是线性可分的.另外.在sklearn中已内置了此数据集…

如今的数值分析,如果没有高等代数的基础,都不好意思打招呼说自己是 "有数学基础". 高等代数,解决问题的一大神器. 1,初等变换 2,特征值 | A-λE | = | λE - A| 这两个方法一样求出来的特征值是一样的 3,LU分解 Ax = b  A=LU 4,判断矩阵的 正惯性指数 和 负惯性指数 因为一个二次型 总是可以化成 一个标准形. 如果二次型f 中的矩阵A是对称矩阵,对二次型的X做正交变换X=PY.可以得到一个标准型. 标准型的平方项的系数如果是正数的 数量是 正惯性指…

一.期末考试成绩班级前十五名 林晨(93).朱民哲(92).何陶然(91).徐钰伦(91).吴嘉诚(91).于鸿宝(91).宁盛臻(90).杨锦文(89).占文韬(88).章俊鑫(87).颜匡萱(87).王旭磊(87).王泽斌(87).沈伊南(86).李飞虎(86) 二.总成绩计算方法 平时成绩根据交作业的次数决定,本学期共交作业13次,10次以上(包括10次)100分,少一次扣10分. 总成绩=平时成绩*15%+期中考试成绩*15%+期末考试成绩*70% 三.最终成绩及人数 最终成绩 人数 A…

[BZOJ1061][Noi2008]志愿者招募 Description 申奥成功后,布布经过不懈努力,终于成为奥组委下属公司人力资源部门的主管.布布刚上任就遇到了一个难题:为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者.经过估算,这个项目需要N 天才能完成,其中第i 天至少需要Ai 个人. 布布通过了解得知,一共有M 类志愿者可以招募.其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天,招募费用是每人Ci 元.新官上任三把火,为了出色地完成自己的工作,布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者,但这并不是他的…

一.Description 两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面.它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止.可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置.不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的.但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的.为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面. 我们…

一句话题解集合. 1061: [Noi2008]志愿者招募 单纯形,运用对偶原理转化过来,变成标准形然后单纯性裸上即可. #include<cmath> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cstring> #include<algorithm> ; const double oo =1e9; ][]; ]; ]; int n,m; int read(void) { ; ; char ch=ge…

一.期末考试成绩班级前十名 丁思成(99).周烁星(97).王捷翔(96).顾文颢(92).顾天翊(90).封清(89).张思哲(89).李哲蔚(88).陈钦品(88).邹年轶(88).王祝斌(88) 二.总评成绩计算方法 平时成绩根据交作业的次数决定,本学期共交作业13次,10次以上(包括10次)100分,少一次扣10分. 总评成绩=平时成绩*15%+期中成绩*15%+期末成绩*70% 三.最终成绩及人数 最终成绩 人数 A 30 A- 6 B+ 28 B 22 B- 13 C+ 9 C 3…

向量组的线性相关性 向量组及其线性组合: n个有次序的数\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数\(a_i\)称为第i个分量. 若干行同维数的列向量(或者行向量)所组成的集合叫做向量组. 向量\(b\)能由向量组\(A:a_1, a_2,\cdots,a_m\)线性表示的充要条件是矩阵\(A=(a_1,a_2,\cdots,a_m)\)的秩等于矩阵\(B=(a_1,a_2,\cdots,a_m,b)\)的秩. 设有两个向量组A和…

前提:矩阵A必须可相似对角化! 充分条件: $A$ 是实对称矩阵 $A$ 有 $n$ 个互异特征值 $A^{\wedge} 2=A $ $\mathrm{A}^{\wedge} 2=\mathrm{E} $ $  r(A)=1 且 \operatorname{tr}(A) !=0$ 谱分解(Spectral Decomposition ),又称特征分解,或相似标准形分解,是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法,需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解.它体现了线性变换的旋转和…

关于NPOI NPOI是POI项目的.NET版本,是由@Tony Qu(http://tonyqus.cnblogs.com/)等大侠基于POI开发的,可以从http://npoi.codeplex.com/下载到它的最新版本.它不使用Office COM组件(Microsoft.Office.Interop.XXX.dll),不需要安装Microsoft Office,支持对Office 97-2003的文件格式,功能比较强大.更详细的说明请看官方网站. 它的以下一些特性让我相当喜欢: 支持对…

函数调用运算符 struct test { int operator()(int val) const { return (i > 0 ? i : -i); } }; 所谓的函数调用就是一个类重载了函数调用符,类在使用重载函数调用符时接受相应参数.这一过程就像是使用一个函数一样,因此叫做函数调用. 上面的类test,它重载了函数调用符(), 接受一个int类型参数,返回它的绝对值. 我们就可以将一个test类对象当做一个函数来使用: int main(void) { test t; int va…

现在就来研究将空间分割为不变子空间的方法,最困难的是我们还不知道从哪里着手.你可能想到从循环子空间出发,一块一块地进行分割,但这个方案的存在性和唯一性都不能解决.不变子空间分割不仅要求每个子空间\(V'\)是不变的,还隐含要求\(V'\)之外元素的像不落在\(V'\)中,这一条就导致从局部开始分割的方案是行不通的.另外,这种方法也无法保障分割的唯一性,因为分割过程依赖每个子空间的选取. 1. 化零多项式 看来还是得从全局出发,期望找到某个属性,它能将空间完美分割.那么首先要将整个空间\(V\)放…

源代码下载 Log4j 是事实上的 Java 标准日志工具.会不会用 Log4j 在一定程度上可以说是衡量一个开发人员是否是一位合格的 Java 程序员的标准.如果你是一名 Java 程序员,如果你还不会用 Log4j,那你真的很有必要读一下这篇文章了.很多朋友反映想写程序日志,但是却不知道怎么把日志写到日志文件里,而且 Java 这方面的资料似乎不多.如<如何写log4j.xml日志配置文件> 所述.本文详细介绍了如何在项目中使用 Log4j 的步骤,并附加了一个例子性质的代码.      …

Jordan Lecture Note-1: Introduction 第一部分要整理的是Jordan的讲义,这份讲义是我刚进实验室时我们老师给我的第一个任务,要求我把讲义上的知识扩充出去,然后每周都要讲给他听.如果有需要这份讲义的话,请留言,我会用邮件发给你. 首先,我来说说机器学习这个东西.刚进实验室,我根本连什么是机器学习都不知道,听到这个名词后的第一反应是机器人,心想估计是搞硬件的.后来才发现其实机器学习更偏向于后面两个字,也就是“学习”.打个不恰当的比方吧,人类在婴儿时期,还无法对世上…

曾几何时,Boost中有一个Socket库,但后来没有了下文,C++社区一直在翘首盼望一个标准网络库的出现,网络上开源的网络库也有不少,例如Apache Portable Runtime就是比较著名的一个,也有像ACE这样重量级的网络框架.去年,Boost将ASIO纳入了自己的体系,由于Boost的影响力,ASIO有机会成为标准网络库.作者Chris Kohlhoff以ASIO为样本向C++标准委员会提交了一个网络库建议书,里面提到:ASIO的覆盖范围: Networking using TC…

外包能去吗?项目型公司如何?甲方比乙方好?互联网公司就一定好吗? 相信许多从业者在经历了3-5年的工作期后都会带着这样的疑问或者疑惑. 2012年-2014年间,曾经面试过500人,亲身面试的也有150人左右,而真正后来被公司录选后来也证明该侯选人是优秀IT人员的只有"四个",这个数字不是夸张,是真实存在的,这也是为什么我在13年时连着写了几篇"think in Java高级面试"的道理. 博客从正式发表至今也有4年多了,期间收到上千封邮件.信函.QQ.微信,自己统…

OOP之类和对象 1. this指针的引入 每个成员函数都有一个额外的隐含的形参,这个参数就是this指针,它指向调用对象的地址.默认情况下,this的类型是指向类类型非常量版本的常量指针.可以表示成如下伪代码形式: /* 假设现在有一个类Sales_data,以及其非常量Sales_data类型对象,则该隐式的this指针可以写成如下伪代码形式 */ Sales_data *const this = &total; this指针一般用于解决重名问题和返回自身的值或者引用.例如: struct…

今天学习第一模块的最后一课课程--函数: python的第一个函数: 1 def func1(): 2 print('第一个函数') 3 return 0 4 func1() 1 同时返回多种类型时,将是返回一元组: 1 def func2(): 2 '],{'五':'六','七':8}#返回多种数据类型 3 data=func2() 4 print(data) 2 函数参数的调用: 1,位置调用:编写时需要一一对应,如果少了,或是多少都会出错! 1 def func3(x,y): 2 z=x+…

参考:https://studygolang.com/pkgdoc 导入方式: import "encoding/base64" base64实现了RFC 4648规定的base64编码.Base64是网络上最常见的用于传输8Bit字节码的编码方式之一,Base64就是一种基于64个可打印字符(即6Bits)来表示二进制数据(即8Bits)的方法.Base64编码是从二进制到字符的过程,可用于在HTTP环境下传递较长的标识信息,这样更适合放在URL中进行传递.此时,采用Base64编码…

1.概述 JSP规范中定义了一系列的标准动作,Web容器按照规范进行了实现,可以解析并执行标准动作.而标准动作使用的是标准的xml语法,看上去也比较直观易懂,下面来看一个结构例子: <jsp:action_name attribute1="value1" attribute2="value2"></jsp:acion_name> 1   1 <jsp:action_name attribute1="value1" a…

注: 本文主要摘取STL在OI中的常用技巧应用, 所以可能会重点说明容器部分和算法部分, 且不会讨论所有支持的函数/操作并主要讨论 C++11 前支持的特性. 如果需要详细完整的介绍请自行查阅标准文档. 原始资料源于各大C++参考信息网站/C++标准文档和Wikipedia. 博主可能会写一个系列的博文来阐述C++标准库在OI中的应用, 本文为第一篇. (表示打这个好累的说OwO博主表示手打了好几天才码完这么多字) 1.概述 首先, 什么是STL? STL, 即标准模板库, 全称Standard…