Part 1:杜教筛进阶在了解了杜教筛基本应用,如$\sum_{i=1}^n\varphi(i)$的求法后,我们看一些杜教筛较难的应用.求$\sum_{i=1}^n\varphi(i)*i$考虑把它与$id$函数狄利克雷卷积后的前缀和.$$\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\varphi(d)*d*\frac id=\sum_{i=1}^ni^2$$枚举$T=\frac id$,原式化为$$\sum_{T=1}^nT\sum_{d=1}^{\lfloor\frac nT\rfloor}…

别人写的讲得挺好的博客 洲阁筛,一种快速求积性函数前缀和的算法 求$\sum\limits_{i=1}^nF(i)$,其中$F(x)$是积性函数,并且$F(p^c)$是关于$p$的低阶多项式 我们把$1\cdots n$的所有数按是否有$\gt\sqrt n$的质因子分类,那么 $\sum\limits_{i=1}^nF(i)=\sum\limits_{\substack{1\leq i\leq n\\i\,没有\,\gt\sqrt n\,的质因子}}F(i)\left(1+\sum\limit…

题目大意:求1~N的每个数因子数的立方和. 题解:由于N过大,我们不能直接通过线性筛求解.我们可以采用洲阁筛. 洲阁筛的式子可以写成: 对于F(1~√n),可以直接线性筛求解. 对于,我们进行以下DP: g[i][j]为1~j中,与前i个质数互质的数的F值之和. dp过程中,有 如果p[i]>j,则g[i][j]=F(1): 如果p[i]*p[i]>j>=p[i],则g[i][j]=g[i-1][j]-p[i]^k*F(1)=g[d][j]-(p[d+1]^k~p[i]^k)*F(1),…

题意 \(\sigma_0(i)\) 表示 \(i\) 的约数个数 求 \[ S_k(n)=\sum_{i=1}^n\sigma_0(i^k)\pmod {2^{64}} \] 共 \(T\) 组数据 \(T\le10^4,n,k\le10^{10}\) 题解 其实 SPOJ 上还有 divcnt2,divcnt3 ,三倍经验题2333 其实是 min_25 裸题 233 令 \(f(x) = \sigma_0(x^k)\) ,不难发现它是个积性函数,且单点求值较快. 前面 讲过了如何非递归在…

2588: Spoj 10628. Count on a tree Time Limit: 12 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 5217  Solved: 1233[Submit][Status][Discuss] Description 给定一棵N个节点的树,每个点有一个权值,对于M个询问(u,v,k),你需要回答u xor lastans和v这两个节点间第K小的点权.其中lastans是上一个询问的答案,初始为0,即第一个询问的u是明文. Input 第一…

题目 Source http://www.spoj.com/problems/DQUERY/en/ Description Given a sequence of n numbers a1, a2, ..., an and a number of d-queries. A d-query is a pair (i, j) (1 ≤ i ≤ j ≤ n). For each d-query (i, j), you have to return the number of distinct elem…

SPOJ - GSS3 Can you answer these queries III Description You are given a sequence A of N (N <= 50000) integers between -10000 and 10000. On this sequence you have to apply M (M <= 50000) operations: modify the i-th element in the sequence or for giv…

这题是学主席树的时候就想写的,,, 但是当时没写(懒) 现在来填坑 = =日常调半天lca(考虑以后背板) 主席树还是蛮好写的,但是代码出现重复,不太好,导致调试的时候心里没底(虽然事实证明主席树部分没出问题) #include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; ]; ]; ,N=,lastans=; ],nex[],list[]; ],h[],fir[],root[],f[],pos[]; ],near[],rm…

题目大意:给你一个长度为n的字符串,求出所有不同长度的字符串出现的最大次数. n<=250000 如:abaaa 输出: 4 2 1 1 1 spoj上的时限卡的太严,必须使用O(N)的算法那才能过掉,所以采用后缀自动机解决. 一个字符串出现的次数,即为后缀自动机中该字符串对应的节点的right集合的大小,right集合的大小等于子树中叶子节点的数目. 令dp[i]表示长度为i的字符串出现的最大次数.dp[i]可以通过在后缀链接树中从叶子节点到根节点依次求出. 最后,按长度从大到小,用dp[i]…

http://www.spoj.com/problems/SUBLEX/ 好难啊. 建出后缀自动机,然后在后缀自动机的每个状态上记录通过这个状态能走到的不同子串的数量.该状态能走到的所有状态的f值的和+1就是当前状态的f值. 最后对于询问的k,从root开始走顺便加加减减就可以了. #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; int in() { int k =…