第一道 A 掉的严格意义上的组合计数题,特来纪念一发. 第一次真正接触到这种类型的题,给人感觉好像思维得很发散才行-- 对于一个排列 \(p_1,p_2,\dots,p_n\),对于每个 \(i\) 向 \(p_i\) 连一条边,可以发现整个构成了一个由若干环组成的图,目标是将这些环变为自环. 引理:把长度为 \(n\) 的环变为 \(n\) 个自环,最少交换次数为 \(n-1\). 用归纳法证,对于当前情况,任意一次交换都将其拆为两个环,由淘汰赛法则可知引理成立. 记 \(F_n\) 表示在最…

正解:数论 解题报告: 传送门! 首先考虑最终的状态是固定的,所以可以知道初始状态的每个数要去哪个地方,就可以考虑给每个数$a$连一条边,指向一个数$b$,表示$a$最后要移至$b$所在的位置 显然每个数只会有一条出边,也只会有一条入边,所以会构成若干条环然后现在的目标就相当于是要通过最少的次数使所有边都变成自环 然后考虑这个交换操作,就相当于是交换两条边的终点 欧克把题目转化完了下面考虑解题 先证明这样一个结论:一个长度为$n$的环要变成$n$个自环至少需要$n-1$步 证明如下: 考虑用数学…

计数套路题?但是我连套路都不会,,, 拿到这道题我一脸蒙彼,,,感谢@poorpool 大佬的博客的指点 先将第\(i\)位上的数字\(p_i\)向\(i\)连无向边,然后构成了一个有若干环组成的无向图,可以知道某个点包含它的有且仅有一个环,因为所有点度数都为2(自环的点度数也是2吧qwq) 那么我们的最终目标就是把这个图转换成有\(n\)个自环的图,相当于把排列排好顺序 考虑对于一个\(m\)个点的环,把它变成\(m\)个自环至少需要\(m-1\)步(相当于排列\((2,3...m,1)\)变…

题意 3602 Counting Swaps 0x30「数学知识」例题 背景 https://ipsc.ksp.sk/2016/real/problems/c.html Just like yesterday (in problem U of the practice session), Bob is busy, so Alice keeps on playing some single-player games and puzzles. In her newest puzzle she has…

Counting swaps 给你一个1-n的排列,问用最少的交换次数使之变为递增排列的方案数\(mod\ 10^9+7\),1 ≤ n ≤ 10^5. 解 显然最少的交换次数不定,还得需要找到最小交换次数,而考虑到交换为复杂的过程,考虑状态的性质,所以不难想到画出,+为箭头指向方向 _ _ | + | + 2 1 4 3 + | + | |_| |_| 于是你会发现实际上我们的变换为递增序列,即把所有的环都变成自环,而交换两个数字即拆环,所以不难知道,一个环拆掉的最少的次数为环的大小-1(因为…

题目描述 定义 \(d(n)\) 为 \(n\) 的正因数的个数,比如 \(d(2) = 2, d(6) = 4\). 令 $ S_1(n) = \sum_{i=1}^n d(i) $ 给定 \(n\),求 \(S_1(n)\). 输入格式 第一行包含一个正整数 \(T\) (\(T \leq 10^5\)),表示数据组数. 接下来的 \(T\) 行,每行包含一个正整数 \(n\) (\(n < 2^{63}\)). 输出格式 对于每个 \(n\),输出一行一个整数,表示 \(S_1(n)\)…

题解 #include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cmath> #include <cstring> #define ll long long using namespace std; const int MOD = 1e9 + 9, MAXN = 100005; int T, n, num[MAXN], head[MAXN], nume, id[MAX…

问题描述 给定你一个 \(1 \sim n\) 的排列 \(\{p_i\}\),可进行若干次操作,每次选择两个整数 \(x,y\),交换 \(p_x,p_y\). 请你告诉穰子,用最少的操作次数将给定排列变成单调上升的序列 \(1,2,\ldots,n\),有多少种方式呢?请输出方式数对 \(10^9+9\) 取模的结果. 输入格式 第一行一个整数 \(T\) 代表数据组数. 每一组测试数据,第一行是一个整数 \(n\) 代表排列中的元素个数,第二行 \(n\) 个整数,是这个排列. 输入数据中…

题目链接 题解 首先,对于每个\(i\)向\(a[i]\)连边. 这样会连出许多独立的环. 可以证明,交换操作不会跨越环. 每个环内的点到最终状态最少交换步数是 \(环的大小-1\) 那么设\(f[i]\)表示环大小为\(i\)的方案数 则 \[ f[i] = \sum_{x+y=i}f[x] * f[y] * g(x,y) * (^{i-1}_{x-1}) \] 其中 \[ g(x,y)=\{^{\frac{x+y}{2}{(x+y为偶数且x=y)}}_{x+y(else)} \] 打标可以发…

简单的深度搜索就能够了,看见有人说什么使用并查集,那简直是大算法小用了. 由于能够深搜而不用回溯.故此效率就是O(N*M)了. 技巧就是添加一个标志P,每次搜索到池塘,即有W字母,那么就觉得搜索到一个池塘了,P值为真. 搜索过的池塘不要反复搜索,故此,每次走过的池塘都改成其它字母.如'@',或者'#',随便一个都能够. 然后8个方向搜索. #include <stdio.h> #include <vector> #include <string.h> #include…

Content 有 \(n\) 张卡牌,每张卡牌上只会有大小写字母和 \(0\sim 9\) 的阿拉伯数字.有这样一个描述:"如果卡牌正面写有元音字母(\(\texttt{A,E,I,O,U}\) 五个字母中的一个),那么它的反面必然是偶数".你很想知道这个描述是否正确,因此你可以选择翻开一些卡牌来验证这个描述.求最坏情况下至少需要翻开的牌的数量. 数据范围:\(1\leqslant n\leqslant 50\). Solution 我们只需要找到元音字母和奇数的牌翻开就行.为什么是…

提供一种最劣解第一且巨大难写的做法( Bob 显然真正的楼量可以达到 \(314!\),是没办法直接做的,再加上唯一方案的样例,可以猜测有简单的结论. 考虑当楼高度为 \(k(k<h)\) 时,每种高度对答案的贡献为 \(2^{k-1}\times 2^{-k}\),即 \(\frac{1}{2}\),当楼高度为 \(k(k \ge h)\) 时,每种高度对答案的贡献和为 \(2^k\times 2^{-k}\),即 \(1\).显然贡献都与 \(h\) 无关,也就是结论只和 \(n\) 有关,…

A: UVALive 6525 cid=61196#problem/A" style="color:blue; text-decoration:none">Attacking rooks 题解:点击打开链接 C: UVALive 6527 Counting ones 题解:点击打开链接 E: UVALive 6529 Eleven 题解:点击打开链接 F: UVALive 6530 Football 题解:点击打开链接 G: option=com_onlinejudge…

组合计算的性质: C(n,m)= m! / (n!(m-n)!) C(n,m)=C(m-n,m); C(n,m)=C(n,m-1)+C(n-1,m-1); 二项式定理:(a+b)^n=sigema(k=0~n) C(k,n)*a^k*b^(n-k) lucas定理:C(n,m)≡C(n%p,m%p)*C(n/p,m/p)  (mod p) catalan数: Cat(n)=C(n,2n)/n+1  Cat(n)=Cat(n-1)*(4n-2)/(n+1) 计算系数 通过二项式定理变形其实就是求C…

[题解]Counting D-sets(容斥+欧拉定理) 没时间写先咕咕咕. vjCodeChef - CNTDSETS 就是容斥,只是难了一二三四五\(\dots \inf\)点 题目大意: 给定你一个\(n\)维空间,问你这个空间内有多少个点集满足两点间最大的切比雪夫距离为\(d\).两个点集不同,当且仅当两个点集无法通过平移而想等. 转化1 考虑最后那个限制,平移想等的限制,受这道题的启发[题解]At2370 Piling Up,我们考虑钦定每一维的\(0\)点都有点坐落,这样就钦定了一个…

[题解]晋升者计数 Promotion Counting [USACO 17 JAN] [P3605] 奶牛们又一次试图创建一家创业公司,还是没有从过去的经验中吸取教训.!牛是可怕的管理者! [题目描述] 奶牛从 \(1\) ~ \(N(1≤N≤1e5)\) 进行了编号,把公司组织成一棵树,\(1\)号奶牛作为总裁(树的根节点).除总裁以外的每头奶牛都有且仅有唯一的一个的上司(即它在树上的父结点).每一头牛\(i\)都有一个不同的能力指数 \(p(i)\),描述了她对其工作的擅长程度.如果奶牛…

题目 [USACO14MAR]Counting Friends G 题解 这道题我们可以将 \((n+1)\) 个边依次去掉,然后分别判断去掉后是否能满足.注意到一点, \(n\) 个奶牛的朋友之和必定为偶数,所以去掉的那个数值的奇偶性必定与 \((n+1)\) 个数值之和的奇偶性相同. 接下来很明显的,尽量将朋友多的和朋友多的匹配,所以先从大到小排序,将第一个奶牛和后面的奶牛依次匹配,如果匹配结束,第一个奶牛还有剩余,则此情况必然不可能成立:否则匹配完之后再按照 \(O(n)\) 复杂度的归并…

CSAcademy Prefix Suffix Counting 题解 目录 CSAcademy Prefix Suffix Counting 题解 题意 思路 做法 程序 题意 给你两个数字\(N\)和\(M\),现在\(K\)表示\(M\)的位数.问你从\(1\)到\(N\),有多少个数字满足\(M\)同时是它的前\(K\)个数字和后\(K\)个数字. 思路 我们现在假设\(N\)和\(M\)都是字符串,如果没有特别提及,都作为字符串处理. 假设有一个数字\(S\)大于等于\(1\)小于等于…

前言 巨佬说:要有线段树,结果蒟蒻打了一棵树状数组... 想想啊,奶牛都开公司当老板了,我还在这里码代码,太失败了. 话说奶牛开个公司老板不应该是FarmerJohn吗? 题解 刚看到这道题的时候竟然没有想到深搜,然后仔细一想,发现果然要用深搜. 但是这个树形结构怎么维护是一个问题?难道打个欧拉序... 其实做法非常简单,首先按照套路我们把牛的能力值离散化(由于没有相同的值,所以这个离散化非常简单). 然后重点来了,建立一个维护某一能力值牛的个数的树状数组. 我们深搜到一个点的时候,我们不希望计…

分块\(yyds\) ----关于线段树合并的题我用分块过掉这件事 题目传送门 先说正解 正解当然是线段树合并等一类做法了 至于解析...出门右转题解区第一篇 (就是他让我看不懂,然后用分块打的\(QAQ\)) 给出 fengwu 的\(code\) #include<bits/stdc++.h> #include<iostream> using namespace std; #define re register int const int N=100005; int n; in…

Problem AtCoder-agc005D 题意概要:给出\(n,k\),求合法的排列个数,其中合法定义为任何数字所在位置与自身值差的绝对值不为\(k\)(即求排列\(\{A_i\}\),使得\(\forall i\in[1,n],|a_i-i|\not =k\) Solution 刚看这道题时除了全集取反搞容斥外没有任何思路啊 \(f_i\)表示排列中至少有\(i\)对冲突的方案数,一对冲突定义为存在一个\(i\)使得\(|a_i-i|=k\) 考虑全集取反,加上一点点容斥思想可得 \[A…

题意:一个逆序对罚钱x元,现在给你交换的机会,每交换任意相邻两个数花钱y,问你最少付多少钱 思路:最近在补之前还没过的题,发现了这道多校的题.显然,交换相邻两个数逆序对必然会变化+1或者-1,那我们肯定是-1操作.那么显然问题就变成了求逆序对数*min(x,y).树状数组求逆序对数. 代码: #include<set> #include<map> #include<stack> #include<cmath> #include<queue> #i…

1.题目描述 2.问题分析 利用bitset. 3 代码 vector<int> countBits(int num) { vector<int> v; ; i <= num; i++){ bitset<> b(i); v.push_back( b.count() ); } return v; }…

统计每层的叶子节点个数建树,然后dfs即可 #include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cstring> #include <vector> using namespace std; /* 统计每层的叶子节点个数 建树,然后dfs即可 */ ; int n,m; int layer[maxn]; //统计每层的叶子节点个数 ; vector<int…

n位数,总共有0~10^n-1共计10^n个数那么所有数出现的总次数变为n*(10^n)个数1出现的次数便是十分之一,所以n位数中,1出现的次数为n*10^(n-1)知道这一个后,接下来就方便求了. 举个例子就方便理解了 3125 从头到尾for一遍 3:那么便有三组1000以内的:0~999,1000~1999,2000~29991000以内的1的个数为300,所以共有3*300=900但是又因为1000~1999中千位上的1也要算进去,有1000个所以0~2999中总共有900+1000=1…

题意:给出一个序列,构建二叉搜索树(BST),输出二叉搜索树最后两层的节点个数n1和n2,以及他们的和sum: n1 + n2 = sum 递归建树,然后再dfs求出最大层数,接着再dfs计算出最后两层的节点个数,也可以直接一遍dfs,顺便存储各个层的节点数. #include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <string.h> #define LEFT 1 #defin…

Description 求区间内有多少对 \((i,j)\) 满足 \(|a_i - a_j| \leq k\) Solution 可以莫队做(万能的莫队) 只需要考虑加入一个数会产生多少贡献即可 离散化的时候把 \(a_i,a_i - k, a_i+k\) 全部放进去. 加入一个数的时候只需要维护 \([a_i - k,a_i+k]\) 有多少个数,并且把 \(a_i\) 这个位置加上 1 删除亦然.这个可以用树状数组方便地维护. 具体实现的时候,因为树状数组是 sum(r) - sum(l-…

Description Due to recent rains, water has pooled in various places in Farmer John's field, which is represented by a rectangle of N x M (1 <= N <= 100; 1 <= M <= 100) squares. Each square contains either water ('W') or dry land ('.'). Farmer…

这是一道看似复杂其实也不简单的思维题. 其实思路很明显. 因为这道题的数据范围比较大,有1e5的询问,如果暴力(像我考场上那样打平衡树)的话可以做到$mnlogn$. 但那样也是稳T. 经过思考之后我们可以发现,这道题必定要使用m的解法,也就是对于每一个询问$O1$求解.(总不可能$mlogn$求解) 那么怎么$O1$呢? 众所周知,$O1$算法自古以来就和数学脱不开关系. 而本题中有哪些量可以扯上来搞一搞呢? 具体的值?肯定不现实. 那也就只剩下区间长度了. 针对区间长度进行考察之后,我们可以…

这道题开10倍左右一直MLE+RE,然后尝试着开了20倍就A了...窒息 对于这道题目,我们考虑使用线段树合并来做. 所谓线段树合并,就是把结构相同的线段树上的节点的信息合在一起,合并的方式比较类似左偏树什么的. 我们对于每个节点用权值线段树查询大于它的子节点数量,然后把当前节点并到它的父亲上面去. 对于此类型的题目我们通常使用动态开点的线段树(不然炸的没边). 时间复杂度应该是$O(nlogn)$ AC代码如下: 455ms 32824kb #include <bits/stdc++.h>…