指数分布族 我们称一类分布属于指数分布族(exponential family distribution),如果它的分布函数可以写成以下的形式: \[ \begin{equation} p(y;\eta) = b(y) \exp(\eta^{T}T(y) - a(\eta)) \tag{*} \end{equation} \] 其中,\(\eta\)被称为自然参数(natural parameter),\(T(y)\)被称为充分统计量(sufficient statistic),\(a(\eta…

本系列文章允许转载,转载请保留全文! [请先阅读][说明&总目录]http://www.cnblogs.com/tbcaaa8/p/4415055.html 1. 指数分布族简介 之前的文章分别介绍了因变量服从高斯分布.伯努利分布.泊松分布.多项分布时,与之对应的回归模型,本文章将阐释这些模型的共同点,并加以推广. 首先非正式地给出指数分布族的定义: 定义 如果变量y的分布可以被表示为p(y;η)=b(y)exp(ηTT(y)-a(η))的形式(η为分布的参数),则称y服从指数分布族 萌萌哒博主…

在分类问题中我们如果: 他们都是广义线性模型中的一个样例,在理解广义线性模型之前须要先理解指数分布族. 指数分布族(The Exponential Family) 假设一个分布能够用例如以下公式表达,那么这个分布就属于指数分布族: 公式中y是随机变量:h(x)称为基础度量值(base measure): η称为分布的自然參数(natural parameter),也称为标准參数(canonical parameter): T(y)称为充分统计量,通常T(y)=y: a(η)称为对数切割函数(lo…

指数分布族 The exponential family 因为广义线性模型是围绕指数分布族的.大多数常用分布都属于指数分布族,服从指数分布族的条件是概率分布可以写成如下形式:η 被称作自然参数(natural parameter),或正则参数canonical parameter),它是指数分布族唯一的参数T(y) 被称作充分统计量(sufficient statistic),很多情况下T(y)=y loga(η) 是log partition functione-a(η)是一个规范化常数,使得…

广义线性模型扩展了线性模型的框架,它包含了非正态的因变量分析 广义线性模型拟合形式: $$g(\mu_\lambda) = \beta_0 + \sum_{j=1}^m\beta_jX_j$$ $g(\mu_\lambda)为连接函数$. 假设响应变量服从指数分布族中某个分布(不仅仅是正态分布),极大扩展了标准线性模型,模型参数估计的推导依据是极大似然估计,而非最小二乘法. 可以放松Y为正态分布的假设,改为Y服从指数分布族中的一种分布即可 glm()函数:glm(formula,family=f…

前面的文章已经介绍了一个回归和一个分类的例子.在逻辑回归模型中我们假设: 在分类问题中我们假设: 他们都是广义线性模型中的一个例子,在理解广义线性模型之前需要先理解指数分布族. 指数分布族(The Exponential Family) 如果一个分布可以用如下公式表达,那么这个分布就属于指数分布族: 公式中y是随机变量:h(x)称为基础度量值(base measure): η称为分布的自然参数(natural parameter),也称为标准参数(canonical parameter): T(…

我们前面介绍的一般线性模型.Logistic回归模型.对数线性模型.Poisson回归模型等,实际上均属于广义线性模型的范畴,广义 线性模型包含的范围非常广泛,原因在于其对于因变量.因变量的概率分布等条件的限制放宽,使其应用范围加大. 广义线性模型由以下几个部分组成 1.因变量广义线性模型的因变量还是要去独立性,但是分布不再局限于正态分布一种,而是可以是指数族概率分布的任意一种,其方差也可 以不稳定,但必须要能表达为依赖均值的函数 2.线性部分广义线性模型因变量与自变量必须为线性关系,即因变量与…

(一)牛顿法解最大似然估计 牛顿方法(Newton's Method)与梯度下降(Gradient Descent)方法的功能一样,都是对解空间进行搜索的方法.其基本思想如下: 对于一个函数f(x),如果我们要求函数值为0时的x,如图所示: 我们先随机选一个点,然后求出该点的切线,即导数,延长它使之与x轴相交,以相交时的x的值作为下一次迭代的值. 更新规则为: 那么如何将牛顿方法应用到机器学习问题求解中呢? 对于机器学习问题,我们优化的目标函数为极大似然估计L,当极大似然估计函数取得最大时,其导…

Logistic Regression 同 Liner Regression 均属于广义线性模型,Liner Regression 假设 $y|x ; \theta$ 服从 Gaussian 分布,而 Logistic Regression 假设 $y|x ; \theta$ 服从 Bernoulli 分布. 这里来看线性回归,给定数据集 $\left \{ (x_i,y_i) \right \}_{i=1}^N$ ,$x_i$ 与 $y_i$ 的关系可以写成 $y_i = \theta^Tx_…

本文简单整理了以下内容: (一)线性回归 (二)二分类:二项Logistic回归 (三)多分类:Softmax回归 (四)广义线性模型 闲话:二项Logistic回归是我去年入门机器学习时学的第一个模型(忘记了为什么看完<统计学习方法>第一章之后直接就跳去了第六章,好像是对"逻辑斯蒂"这个名字很感兴趣?...),对照<机器学习实战>写了几行代码敲了一个toy版本,当时觉得还是挺有意思的.我觉得这个模型很适合用来入门(但是必须注意这个模型有很多很多很多很多可以展开…

使用场景:结果变量是类别型,二值变量和多分类变量,不满足正态分布  结果变量是计数型,并且他们的均值和方差都是相关的 解决方法:使用广义线性模型,它包含费正太因变量的分析 1.Logistics回归(因变量为类别型) 案例:匹配出发生婚外情的模型 1.查看数据集的统计信息 library(AER) data(Affairs,package = 'AER') summary(Affairs) table(Affairs$affairs) 结果:该数据从601位参与者收集了,婚外情次数,性别,年龄,…

本文对应<R语言实战>第13章:广义线性模型 广义线性模型扩展了线性模型的框架,包含了非正态因变量的分析. 两种流行模型:Logistic回归(因变量为类别型)和泊松回归(因变量为计数型) glm()函数的参数 分布族 默认的连接函数 binomial (link = “logit”) gaussian (link = “identity”) gamma (link = “inverse”) inverse.gaussian (link = “1/mu^2”) poisson (link =…

广义线性模型 前面我们举了回归和分类得到例子.在回归的例子中,$y \mid x;\theta \sim  N(u,\sigma ^{2})$,在分类例子中,$y\mid x;\theta \sim  Bbernoulli(\phi)$ 广义线性模型是基于指数函数族的,指数函数族原型为: $p(y;\eta) = b(y)exp(\eta^{T}T(y)-a(\eta))$ $\eta$为自然参数,$T(y)$为充分统计量,一般情况下$T(y)=y$.选择固定的T,a,b定义一个分布,参数为$\…

在线性回归问题中,我们假设,而在分类问题中,我们假设,它们都是广义线性模型的例子,而广义线性模型就是把自变量的线性预测函数当作因变量的估计值.很多模型都是基于广义线性模型的,例如,传统的线性回归模型,最大熵模型,Logistic回归,softmax回归. 指数分布族 在了解广义线性模型之前,先了解一下指数分布族(the exponential family) 指数分布族原型如下 如果一个分布可以用上面形式在表示,那么这个分布就属于指数分布族,首先来定义一下上面形式的符号: η:分布的自然参数(n…

再谈广义线性模型之前,先来看一下普通线性模型: 普通线性模型的假设主要有以下几点: 1.响应变量Y和误差项ϵ正态性:响应变量Y和误差项ϵ服从正态分布,且ϵ是一个白噪声过程,因而具有零均值,同方差的特性. 2.预测量xi和未知参数βi的非随机性:预测量xi具有非随机性.可测且不存在测量误差:未知参数βi认为是未知但不具随机性的常数,值得注意的是运用最小二乘法或极大似然法解出的未知参数的估计值β^i则具有正态性. 广义线性模型(generalized linear model)正是在普通线性模型的基…

一.广义线性模型概念 在讨论广义线性模型之前,先回顾一下基本线性模型,也就是线性回归. 在线性回归模型中的假设中,有两点需要提出: (1)假设因变量服从高斯分布:$Y={{\theta }^{T}}x+\xi $,其中误差项$\xi \sim N(0,{{\sigma }^{2}})$,那么因变量$Y\sim N({{\theta }^{T}}x,{{\sigma }^{2}})$. (2)模型预测的输出为$E[Y]$,根据$Y={{\theta }^{T}}x+\xi $,$E[Y]=E[{{…

引言:通过高斯模型得到最小二乘法(线性回归),即:      通过伯努利模型得到逻辑回归,即:      这些模型都可以通过广义线性模型得到.广义线性模型是把自变量的线性预测函数当作因变量的估计值.在机器学习中,有很多模型都是基于广义线性模型的,比如传统的线性回归模型,最大熵模型,Logistic回归,softmax回归,等等.今天主要来学习如何来针对某类型的分布建立相应的广义线性模型. 广义线性模型 广义线性模型:广义线性模型是基于指数分布族(Exponential Family),而指数分布…

1.广义线性模型 2.逻辑回归 3.softmax回归…

广义线性模型(Generalized Linear Model) http://www.cnblogs.com/sumai 1.指数分布族 我们在建模的时候,关心的目标变量Y可能服从很多种分布.像线性回归,我们会假设目标变量Y服从正态分布,而逻辑回归,则假设服从伯努利分布.在广义线性模型的理论框架中,则假设目标变量Y则是服从指数分布族,正态分布和伯努利分布都属于指数分布族,因此线性回归和逻辑回归可以看作是广义线性模型的特例.那什么是指数分布族呢?若一个分布的概率密度或者概率分布可以写成这个形式,…

广义线性模型 y是分类变量 Link function:将分类变量和数值变量放在一起 使用得到结果0 or 1的概率值来评估选0 or1 函数关系: 正比例函数: logistics函数S型曲线: Odds ratio反应事件发生的倾向性 logistics函数与probit regression function很像,但是logistics函数基于二项分布,probit regression function基于正态分布. probit regression function:正态分布的累计概…

1 问题来源 记得一开始学逻辑回归时候也不知道当时怎么想得,很自然就接受了逻辑回归的决策函数--sigmod函数: 与此同时,有些书上直接给出了该函数与将 $y$ 视为类后验概率估计 $p(y=1|x)$ 等价,即 并给出了二分类(标签 $yin(0,1)$)情况下的判别方式: 但今天再回过头看的时候,突然就不理解了,一个函数值是怎么和一个概率联系起来了呢?有些人解释说因为 $h_{theta}(x)$ 范围在0~1之间啊,可是数值在此之间还是没说明白和概率究竟有什么关系.所以,前几天看了一些资…

# 婚外情数据集 data(Affairs, package = "AER") summary(Affairs) table(Affairs$affairs) # 用二值变量,是或否 Affairs$ynaffair[Affairs$affairs > ] <- Affairs$ynaffair[Affairs$affairs == ] <- Affairs$ynaffair <- factor(Affairs$ynaffair, levels = c(, ),…

前言 在上一篇中,我简单介绍了一下Tensorflow以及在本机及阿里云的PAI平台上跑通第一个示例的步骤.在本篇中我将稍微讲解一下几个基本概念以及Tensorflow的基础语法. 本文代码都是基于API版本r1.4.本文中本地开发环境为Pycharm,在文中不再赘述. 名词解释 核心概念 和很多开发语言设计一样,Tensorflow提供了多个级别的客户端API,其中最底层叫Tensorflow Core,使用这一层API可以完全控制Tensorflow,但是使用难度上也相对较大.在Tensor…

R语言glm函数学习:  [转载时请注明来源]:http://www.cnblogs.com/runner-ljt/ Ljt 作为一个初学者,水平有限,欢迎交流指正. glm函数介绍: glm(formula, family=family.generator, data,control = list(...)) family:每一种响应分布(指数分布族)允许各种关联函数将均值和线性预测器关联起来. 常用的family: binomal(link='logit')         ----响应变量…

#----------------------------------------------# # R in Action (2nd ed): Chapter 13 # # Generalized linear models # # requires packages AER, robust, gcc # # install.packages(c("AER", "robust", "gcc")) # #---------------------…

#----------------------------------------------# # R in Action (2nd ed): Chapter 13 # # Generalized linear models # # requires packages AER, robust, gcc # # install.packages(c("AER", "robust", "gcc")) # #---------------------…

广义线性回归模型 广义线性回归模型 例题1 R.Norell实验 为研究高压电线对牲畜的影响,R.Norell研究小的电流对农场动物的影响.他在实验中,选择了7头,6种电击强度, 0,1,2,3,4,5毫安,每头牛被电击30下,每种强度5下,按随机的次序进行,然后重复整个实验,每头牛总共被电击60下.对每次电击,相应变量--嘴巴运动,或者出现,或者未出现.下表中的数据给出每种电击强度70次试验中响应的总次数.试分析电击对牛的影响 电流(毫安) 试验次数 响应次数 响应的比例 0 70 0 0.0…

Andrew 机器学习课程笔记 完成 Andrew 的课程结束至今已有一段时间,课程介绍深入浅出,很好的解释了模型的基本原理以及应用.在我看来这是个很好的入门视频,他老人家现在又出了一门 deep learning 的教程,虽然介绍的内容很浅,毕竟针对大部分初学者.不管学习到什么程度,能将课程跟一遍,或多或少会对知识体系的全貌有一个大致的理解.如果有时间的话,强烈建议跟完课程的同时完成各项作业.但值得注意的是,机器学习除了需要适当的数理基础之外,还是一门实践科学,只有通过不断的深入积累才能有更好…

一直对机器学习里的loss函数不太懂,这里做点笔记. 符号表示的含义,主要根据Andrew Ng的课程来的,\(m\)个样本,第\(i\)个样本为\(\vec x^{(i)}\),对应ground truth标签为\(y^{(i)}\). 线性回归 假设函数: \[ \begin{align} h_{\vec \theta}(\vec x^{(i)}) & = \vec \theta^T \vec x \\ \end{align} \] 损失函数: 使用MSE(mean squared erro…

一些问题: 1. 什么时候我的问题可以用GLM,什么时候我的问题不能用GLM? 2. GLM到底能给我们带来什么好处? 3. 如何评价GLM模型的好坏? 广义线性回归啊,虐了我快几个月了,还是没有彻底搞懂,看paper看代码的时候总是一脸懵逼. 大部分分布都能看作是指数族分布,广义差不多是这个意思,我们常见的线性回归和logistic回归都是广义线性回归的特例,可以由它推到出来. 参考:线性回归.logistic回归.广义线性模型——斯坦福CS229机器学习个人总结(一) 对着上面的教程,手写了…