GCD  nyoj 1007 (欧拉函数+欧几里得) GCD 时间限制:1000 ms  |  内存限制:65535 KB 难度:3   描述 The greatest common divisor GCD(a,b) of two positive integers a and b,sometimes written (a,b),is the largest divisor common to a and b,For example,(1,2)=1,(12,18)=6.(a,b) can be…

题目描述 给出 $n$ 和 $p$ ,求 $(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nij\gcd(i,j))\mod p$ . $n\le 10^{10}$ . 题解 欧拉函数(欧拉反演)+杜教筛 推式子: $$\begin{align}&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nij\gcd(i,j)\\=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nij\sum\limits_{d|…

http://poj.org/problem?id=2478 题意:给定一个数x,求<=x的数的欧拉函数值的和.(x<=10^6) 题解:数据范围比较大,像poj1248一样的做法是不可行的了. 首先我们要了解欧拉函数的几个性质和推论:(今天跟好基友Konjak魔芋讨论了好久..) 推论(一): phi(p^k)=(p-1)*p^(k-1) 证明: 令n=p^k,小于等于n的正整数数中,所有p的倍数共有p^k /p = p^(k-1)个. 1~n出去p的倍数,所以phi(n)= n -  p^…

若直线的斜率为0或者不存在斜率,则有$nC(m,3)+mC(n,3)$种方案.若直线的斜率不为0,只需考虑斜率为正的情况,最后答案再乘以2即可.枚举两个点的坐标差,设$t=\min(n,m)$,则有: \[\begin{eqnarray*}ans&=&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(n-i)(m-j)(\gcd(i,j)-1)\\&=&\sum_{d=1}^t\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[\gcd(i,j)=d](n-i)(m-j)(\…

定义 欧拉函数 $\varphi(n)$表示小于等于$n$的正整数中与$n$互质的数的数目. 性质 1.积性函数(证明). 2.$\varphi(1)=1$(显然) 3.对于质数$n$,$\varphi(n)=n-1$(显然) 4.对于质数的幂$n=p^k$(其中$p$为质数,$k$为正整数),$\varphi(n)=p^{k-1}\cdot(p-1)$ 证明: 归纳法,在$k=1$时显然成立,假设当$k$为$k-1$时成立,那么对于将$1,2,...p^k$中每一个数表示为$x\cdot p^…

找新朋友 Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 9361    Accepted Submission(s): 4955 Problem Description 新年快到了,“猪头帮协会”准备搞一个聚会,已经知道现有会员N人,把会员从1到N编号,其中会长的号码是N号,凡是和会长是老朋友的,那么该会员的号码肯定和N有大于1的公约数…

Description 给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对. Input 一个整数N Output 如题 Sample Input 4 Sample Output 4 Hint 对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2) 1<=N<=10^7 这个题目可以用欧拉函数或者莫比乌斯反演. 第一种欧拉函数: 因为gcd(x, y) = p,所以gcd(x/p, y/p) = 1. 不妨设y较大,那么就是求所有比y/p小的数k,ph…

题意: 求1-n内互质数对个数 SOL: 裸欧拉函数,还有莫比乌斯反演的加速什么的,挖个坑. Code: /*========================================================================== # Last modified: 2016-03-16 20:57 # Filename: 2190.cpp # Description: ==================================================…

UVA11426 GCD - Extreme (II) 题目描述 PDF 输入输出格式 输入格式: 输出格式: 输入输出样例 输入样例#1: 10 100 200000 0 输出样例#1: 67 13015 143295493160 Solution 这道题我用莫比乌斯反演和欧拉函数都写了一遍,发现欧拉函数比莫比乌斯反演优秀? 求所有\(gcd=k\)的数对的个数,记作\(f[k],ans=\sum_{i=1}^{n}(f[i]-1)\),为什么还要-1,我们注意到\(j=i+1\),自己与自己…

欧拉函数 欧拉函数是指:对于一个正整数n,小于n且和n互质的正整数(包括1)的个数,记作φ(n) . 通式:φ(x)=x*(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)*(1-1/p4)-..(1-1/pn),其中p1, p2--pn为x的所有质因数,x是不为0的整数.φ(1)=1(唯一和1互质的数就是1本身). 对于质数p,φ(p) = p - 1.注意φ(1)=1. 欧拉定理:对于互质的正整数a和n,有aφ(n) ≡ 1 mod n. 欧拉函数是积性函数--若m,n互质,φ(mn)=φ(m…