【poj2478-Farey Sequence】递推求欧拉函数-欧拉函数的几个性质和推论

http://poj.org/problem?id=2478

题意：给定一个数x，求<=x的数的欧拉函数值的和。（x<=10^6）

题解：数据范围比较大，像poj1248一样的做法是不可行的了。

首先我们要了解欧拉函数的几个性质和推论：（今天跟好基友Konjak魔芋讨论了好久。。）

推论（一）: phi(p^k)=(p-1)*p^(k-1)

证明：

令n=p^k,小于等于n的正整数数中，所有p的倍数共有p^k /p = p^(k-1)个。

1~n出去p的倍数，所以phi(n)= n -  p^(k-1)  = p^k - p^(k-1) =  (p-1)*p^(k-1).得证。

引用自scy的讲解。

性质（一）:若ab互质，则phi(a*b)=phi(a)*phi(b)。即：欧拉函数是积性函数.

证明：

对任意数n都可以唯一分解成n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*...*pn^an(pi为素数).
            则E(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn)

=(p1^a1*p2^a2*p3^a3*...*pn^an)*[(p1-1)*(p2-1)*(p3-1)*...*(pn-1)]/(p1*p2*p3*...*pn)

=(p1-1)*p1^(a1-1)*(p2-1)*p2^(a2-1)*...*(pn-1)*pn^(an-1)     ---（1）
            =E(p1^a1)*E(p2^a2)*E(p3^a3)*...*E(pn^an)

所以当ab互质的时候E(a*b)=E(a)*E(b)

注明：E（）即是phi（）。

推论（二）：当b是质数，a%b==0，phi(a*b)=phi(a)*b

这个的证明可以代入到上面性质一的证明之中：

b=gcd(a,b),指数为q。

在（1）中，即E（a*b）中有(b-1)*b^(q-1)

若E(a*b)拆分为E(a)*E(b)，则多乘了一次（b-1）*b^(-1)，那么我们为了方程两边相等，得到了：

E(a*b)=E(a)*E(b)*b/(b-1)

因为b是素数，phi(b)=b-1

所以E(a*b)=E(a)*b。

另一种证明：phi(a*b)=phi(a)*b,a%b==0

a=k*b^n,gcd(k,b)==1

phi(a*b)=phi(k*b^(n+1))=phi(k)*(b-1)*b^n

phi(k)=phi(k*b^n)/phi(b)=phi(k*b^n)/((b-1)*(b^(n-1)))

约分，则phi(a*b)=phi(k*b^n)*b=phi(a)*b

推论（三）： 当n为奇数时，E（2n）=E（n）

2是一个质数，n为奇数则一定与2互质，E（2n）=E(2)*E（n），其中E(2)=1。

推论（四）： 当n是一个大于2的正整数时，E（n）是偶数

   若n是素数，则E(n)=n-1，又因为素数中偶数只有2，则n-1一定是偶数

若n是合数，则可以分解质因数，E(n)=E(p1)*E(p2)*…… 根据上一步的结论，E(n)一定是偶数。

有了上面的基础，我们就可以轻易地推出O（n）的方法解决这个问题了，也就是在欧拉筛中顺便更新欧拉函数值。

具体看代码吧，非常明白的了。

今天还做了几题欧拉函数的题，真是觉得自己不是完全懂欧拉函数的。现在把这道题学到的东西归纳一下，才发现一道代码这么短的题有这么多的知识。。

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 using namespace std;

 typedef long long LL;
 const int Max=(int)1e6;
 const int N=Max+;
 LL pl;
 LL p[N],phi[N],sum[N];
 bool vis[N];

 void eular()
 {
     memset(vis,,sizeof(vis));
     pl=;
     for(int i=;i<=Max;i++)
     {
         if(!vis[i]) p[++pl]=i,phi[i]=i-;
         for(int j=;j<=pl;j++)
         {
             if(i*p[j]>Max) break;
             vis[i*p[j]]=;
             if((i%p[j])==)
             {
                 phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
                 break;
             }
             else phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-);
         }
     }
 }

 int main()
 {
     // freopen("a.in","r",stdin);
     // freopen("a.out","w",stdout);
     eular();
     sum[]=;
     for(LL i=;i<=Max;i++) sum[i]=sum[i-]+phi[i];
     while()
     {
         LL x;
         scanf("%I64d",&x);
         if(!x) return ;
         printf("%I64d\n",sum[x]);
     }
     return ;
 }